Bài viết hướng dẫn phương pháp xét dấu của tam thức bậc hai và cách giải toán liên quan đến tam thức bậc hai, các kiến thức và ví dụ trong bài được tham khảo từ tài liệu bất đẳng thức đăng trên x-lair.com.
Bạn đang xem: Bài tập vẽ tam thức bậc hai
A. LÝ THUYẾT VỀ DẤU HIỆU CỦA TÒA ÁN THỨ HAI1. Lượng giác bậc hai:• Tam giác bậc hai (đối với $x$) là một biểu thức có dạng $a{{x}^{2}}+bx+c$, trong đó $a$, $b$, $c$ là các số $ được a\ne 0.$• Nghiệm của phương trình $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ trở thành nghiệm của tam thức bậc hai $f\left( x \right ) =a { được gọi là {x}^{2}}+bx+c.$• $\Delta ={{b}^{2}}-4ac$ và $\Delta’=b’^{2}-ac$ trong đó thứ tự là phân biệt giảm và giảm của tam thức bậc hai $f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c.$2. Vẽ tam thức bậc hai:Dấu của tam thức bậc hai được thể hiện trong bảng sau: • Trường hợp 1: $ΔTrường hợp 2: $Δ=0$ (tam thức bậc hai có căn kép ${x_0} = – \frac{b}{) {2a}} $ ).
• Trường hợp 3: $Δ>0$ (tam thức bậc hai có hai gốc ${x_1}$ và ${x_2}$ $\left( {{x_1} • $a{x^2} + bx + c >)” 0 $, $\forall x \in R$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta \end{array} \right.$• $a{x^2} + bx + c \ge 0$, $\forall x \in R$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta \le 0\end{array} \right. $ • $a{x^2} + bx + ca \Delta \end{array} \right.$• $a{x^2} + bx + c \le 0$, $\forall x \in R$ $ \ Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \Delta \le 0\end{array} \right.$
B. TOÁN VỀ TÍN HIỆU CỦA TAM GIÁC BẬC HAI và ví dụ minh họaDạng toán 1. Xét dấu của biểu thức chứa tam thức bậc hai.phương pháp giải: Dựa vào định lý về dấu của tam thức bậc hai để xét dấu của biểu thức chứa tam thức bậc hai. • Đối với đa thức bậc cao $P(x)$ ta làm như sau:+ Phân tích đa thức $P \ left ( x \right)$ tích của tam thức bậc hai (hoặc thậm chí là nhị thức bậc nhất).+ Lập bảng dấu của $P\left( x \right).$• Cho phân số $\frac{ P(x)} {Q (x)}$ (trong đó $P\left( x \right)$, $Q\left( x \right)$ là các đa thức) ta làm như sau: + Phân tích đa biến công thức $P\left( x \ right) $, $Q\left( x \right)$ ra tam thức bậc hai (hoặc thậm chí là nhị thức bậc nhất).+ Lập bảng dấu của $\frac{P (x)}{Q(x)}.$
ví dụ 1. Xét dấu của các tam thức bậc hai sau: a) $3{{x}^{2}}-2x+1.$b) $-{{x}^{2}}+4x+5.$c) $ – 4{{x}^{2}}+12x-9.$d) $3{{x}^{2}}-2x-8.$e) $25{{x}^{2}}+10x+ 1. $f) $-2{{x}^{2}}+6x-5.$
a) Ta có $\Delta’=-20$ nên $3{{x}^{2}}-2x+1>0$, $\forall x\in \mathbb{R}.$b) Ta có $ – {x^2} + 4x + 5 = 0$ $ \Leftrightarrow \left
Suy ra $-{{x}^{2}}+4x+5>0$ $\Leftrightarrow x\in \left( -1;5 \right)$ và $-{{x}^{2}}+ 4x af +5c) Chúng ta có $\Delta’=0$, $ad) Chúng ta có $3{{x}^{2}}-2x-8=0$ $\Leftrightarrow \left
Lấy $3{{x}^{2}}-2x-8>0$ $\Leftrightarrow x\in \left( -\infty ;-\frac{4}{3} \right)\cup \left( 2 ; +\infty \right)$ và $3{{x}^{2}}-2x-8e) Ta có $\Delta’=0$, $a>0$ suy ra $25{{x}^{2} }+ 10x+1>0$, $\forall x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ -\frac{1}{5} \right\}.$f) Ta có $\Delta’= -firství dụ 2. Tùy thuộc vào giá trị của tham số $m$, hãy xem xét dấu của các biểu thức $f(x)={{x}^{2}}+2mx+3m-2.$
Tam giác $f(x)$ có $a=1>0$ và $\Delta’={{m}^{2}}-3m+2.$• Nếu $10$, $\forall x\in R. $• Nếu $\left2 \\& m0$ $\Rightarrow f(x)$ có hai nghiệm: ${{x}_{1}}=-m-\sqrt{{{m}^{2}}- 3m+2}$ và ${{x}_{2}}=-m+\sqrt{{{m}^{2}}-3m+2}$. Sau đó:+ $f(x)>0$ $\Leftrightarrow x\in (-\infty ;{{x}_{1}})\cup ({{x}_{2}};+\infty ) . $+ $f(x)ví dụ 3. Xét dấu của các biểu thức sau: a) $\left( -{{x}^{2}}+x-1 \right)\left( 6{{x}^{2}}-5x+1 \right ).$b) $\frac{{{x}^{2}}-x-2}{-{{x}^{2}}+3x+4}.$c) ${{x}^{ 3}}-5x+2.$d) $x-\frac{{{x}^{2}}-x+6}{-{{x}^{2}}+3x+4}.$
a) Ta có:$-{{x}^{2}}+x-1=0$ vô nghiệm.$6{{x}^{2}}-5x+1=0$ $\Leftrightarrow x= \ frac {1}{2}$ hoặc $x=\frac{1}{3}.$Bảng tín hiệu:
Suy ra $\left( -{{x}^{2}}+x-1 \right)\left( 6{{x}^{2}}-5x+1 \right)$ dương khi và chỉ khi $ x\in \left( \frac{1}{3};\frac{1}{2} \right)$, $\left( -{{x}^{2}}+x-1 \right) \ left( 6{{x}^{2}}-5x+1 \right)$ âm khi và chỉ khi $x\in \left( -\infty ;\frac{1}{3} \right)\ cup \ left( \frac{1}{2};+\infty \right).$b) Ta có:${{x}^{2}}-x-2=0$ $\Leftrightarrow \left
Suy ra $\frac{{{x}^{2}}-x-2}{-{{x}^{2}}+3x+4}$ khi và chỉ khi $x\in \left( 2 ; 4 \right)$, $\frac{{{x}^{2}}-x-2}{-{{x}^{2}}+3x+4}$ âm khi và chỉ khi $x\ print \left( -\infty ;-1 \right)\cup \left( -1;2 \right)\cup \left( 4;+\infty \right).$
Suy ra rằng ${{x}^{3}}-5x+2$ dương khi và chỉ khi $x\in \left( -1-\sqrt{2};-1+\sqrt{2} \right )\ cup \left( 2;+\infty \right)$, ${{x}^{3}}-5x+2$ âm khi và chỉ khi $x\in \left( -\infty ;-1 -\sqrt {2} \right)\cup \left( -1+\sqrt{2};2 \right).$d) Ta có:$x-\frac{{{x}^{2}}- x+6 {-{{x}^{2}}+3x+4}$ $=\frac{-{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+5x- 6 }{ -{{x}^{2}}+3x+4}$ $=\frac{\left( x-1 \right)\left( -{{x}^{2}}+x+6 \ phải) }{-{{x}^{2}}+3x+4}.$$-{{x}^{2}}+x+6=0$ $\Leftrightarrow \left
Suy ra rằng $x-\frac{{{x}^{2}}-x+6}{-{{x}^{2}}+3x+4}$ dương khi và chỉ khi $x\in \left ( -2;-1 \right)\cup \left( 1;3 \right)\cup \left( 4;+\infty \right)$, $x-\frac{{{x}^{2 }} -x+6}{-{{x}^{2}}+3x+4}$ âm khi và chỉ khi $x\in \left( -\infty ;-2 \right)\cup \left ( -1 ;1 \right)\cup \left( 3,4 \right).$
Loại Toán 2. Bài toán có chứa tham số liên quan đến vẽ tam thức bậc hai.Ví dụ 4. Chứng minh rằng với mọi giá trị của $m$: a) Phương trình $m{{x}^{2}}-\left( 3m+2 \right)x+1=0$ luôn có nghiệm.b) Phương trình $ \left( {{m}^{2}}+5 \right){{x}^{2}}-\left( \sqrt{3}m-2 \right)x+1=0$ luôn thiếu kinh nghiệm .
a) Với $m=0$ phương trình $-2x+1=0$ trở thành $\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$ suy ra phương trình có nghiệm. Với $m\ne 0$, có $\Delta ={{\left( 3m+2 \right)}^{2}}-4m$ $=9{{m}^{2}}+8m+4. $Vì tam giác $9{{m } ^{2}}+8m+4$ có ${{a}_{m}}=9>0$, $\Delta’_{m}=-200$ cho tất cả $m.$ Do đó phương trình đã cho luôn có nghiệm cho mọi $m.$b) Ta có $\Delta ={{\left( \sqrt{3}m-2 \right)}^{2 }}-4 \left( {{m} ^{ 2}}+5 \right)$ $=-{{m}^{2}}-4\sqrt{3}m-16.$Vì tam giác $-{{ m}^{2}}- 4 \sqrt{3}m-8$ có ${{a}_{m}}=-1 Vậy phương trình đã cho luôn vô nghiệm với mọi $m. $
Ví dụ 5. Tìm các giá trị của $m$ để biểu thức sau luôn âm:a) $f\left( x \right)=m{{x}^{2}}-x-1.$b) $g \left( x \right)=\left( m-4 \right){{x}^{2}}+\left( 2m-8 \right)x+m-5.$
a) Với $m=0$ thì $f\left( x \right)=-x-1$ nhận giá trị dương (ví dụ: $f\left( -2 \right)=1$) nên $m= 0 $ không thỏa mãn vấn đề. Với $m\ne 0$, thì $f\left( x \right)=m{{x}^{2}}-x-1$ là một tam thức bậc hai, do đó: $ f\left( x \ right )a=m\Delta =1+4m\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}mm>-\frac{1}{ 4} \ \\end{matrix} \ phải.$ $\Leftrightarrow -\frac{1}{4} Vậy với $-\frac{1}{4}b) Với $m=4$ thì $g\left ( x \ right)=-1 Với $ m\ne 4$ then $g\left( x \right)=\left( m-4 \right){{x}^{2}}+\left( 2m-8 \right )x+m-5 $ là một tam giác bậc hai, vì vậy: $g\left( x \right)a=m-4\Delta’={{\left( m-4 \right)}^{ 2}}- \left( m- 4 \ right)\left( m-5 \right)\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}mm-4\end{matrix } \right. $ $\Leftrightarrow mSo với $m\le 4$ biểu thức $g\left( x \right)$ luôn âm.
Xem thêm: Cách chuyển ảnh thành text trên máy tính, điện thoại 2022
Ví dụ 6. Tìm các giá trị của $m$ để biểu thức sau luôn dương:a) $h\left( x \right)=\frac{-{{x}^{2}}+4\left( m+ 1 \right ) x+1-4{{m}^{2}}}{-4{{x}^{2}}+5x-2}.$b) $k\left( x \right)= \ sqrt{ { {x}^{2}}-x+m}-1.$
a) Tam giác $-4{{x}^{2}}+5x-2$ có $a=-4 Do đó $h\left( x \right)$ luôn dương khi và chỉ khi $-{{x} ^{2}}+4\left( m+1 \right)x+1-4{{m}^{2}}$ luôn âm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a=-1 \ Delta’=4{{\left( m+1 \right)}^{2}}+\left( 1-4{{m}^{2}} \right)\end{ma trận} \right.$ $ \Leftrightarrow 8m+5 Vậy với $mb) Biểu thức $k\left( x \right)$ luôn dương $\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}-x+m}-1>0 $ $\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}-x+m}>1$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x+m>0$, $\forall x$ $ \Leftrightarrow \ left\{ \begin{matrix}a=1>0 \\\Delta =1-4m\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow m>\frac{1}{4}.$So với $m> \frac{1}{4}$ thì biểu thức $k\left( x \right)$ luôn dương.
Ví dụ 7. Chứng minh rằng hàm số sau có tập xác định $\mathbb{R}$ với mọi giá trị của $m.$a) $y=\frac{mx}{\left( 2{{m}^{2} } +1 \right){{x}^{2}}-4mx+2}.$b) $y=\sqrt{\frac{2{{x}^{2}}-2\left( m+ 1 \ right)x+{{m}^{2}}+1}{{{m}^{2}}{{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}+2} } .$
a) Điều kiện xác định: $\left( 2{{m}^{2}}+1 \right){{x}^{2}}-4mx+2\ne 0.$Xét tam thức bậc hai $ f\left( x \right)=\left( 2{{m}^{2}}+1 \right){{x}^{2}}-4mx+2$, ta có: $a=2{ {m}^ { 2}}+1>0$, $\Delta’=4{{m}^{2}}-2\left( 2{{m}^{2}}+1 \right)= -2 Vậy đối với cứ $m$ ta có $f\left( x \right)=\left( 2{{m}^{2}}+1 \right){{x}^{2}}-4mx+ 2>0$, $ \forall x\in \mathbb{R}.$Vậy với mỗi $m$ ta có $\left( 2{{m}^{2}}+1 \right){{x} ^{2}}- 4mx +2\ne 0$, $\forall x\in \mathbb{R}.$Vậy tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}.$b) Định nghĩa: $\frac{2{{ x }^{2}}-2\left( m+1 \right)x+{{m}^{2}}+1}{{{m}^{2}} {{x}^{2}} – 2mx+{{m}^{2}}+2}\ge 0$ và ${{m}^{2}}{{x}^{2}}-2mx+{ {m}^{2}}+ 2 \ne 0.$Xét tam thức bậc hai $f\left( x \right)=2{{x}^{2}}-2\left( m+1 \right )x+{{m}^{2}} + 1$, ta có: ${{a}_{f}}=2>0$, ${{\Delta }_{f}}’={{\ left( m+1 \right)}^{ 2 }}-2\left( {{m}^{2}}+1 \right)$ $=-{{m}^{2}}+2m-1 $ $=-{{\left( m- 1 \right)}^{2}}\le 0.$ Suy ra rằng với mỗi $m$ ta có $f\left( x \right)=2{{x} ^{2}}-2\left( m ) +1 \right)x+{{m}^{2}}+1\ge 0$, $\forall x\in \mathbb{R}$ $(1). $Xét tam thức bậc hai $g\left( x \ right)={{m}^{2}}{{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}+2.$+ Cho $ m=0$ ta có $g\left( x \right)=2>0.$+ Với $m\ne 0$ ta có ${{a}_{g}}={{m}^{ 2} }>0$, ${{\Delta } _{g}}’={{m}^{2}}-{{m}^{2}}\left( {{m}^{2}}+ 2 \right)$ $=-{{m }^{2}}\left( {{m}^{2}}+1 \right) Vậy với mỗi $m$ ta có $g\left( x \right )={{m}^{2}} {{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}+2>0$, $\forall x\in \mathbb{R }$ $ (2).$Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra rằng với mọi $m$ thì $\frac{2{{x}^{2}}-2\left( m+1 \right )x+{{m}^{2}} +1}{{{m}^{2}}{{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}+2}\ ge 0 $ và ${{m}^{2} }{{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}+2\ne 0$ đúng với mọi giá trị của $x.$ Vậy tập xác định của hàm là $D=\mathbb{R}.$
