Để phân tích một số thành số nguyên tố một cách nhanh chóng và chính xác, trước hết học sinh phải nắm được khái niệm số nguyên tố, nắm được một số dấu hiệu chia hết đã học ở các bài học trước.

Bạn đang xem: Phân Tích Số Nguyên Tố

Trong bài này chúng ta sẽ tìm hiểu cách quy một số thành thừa số nguyên tố và sau đó vận dụng vào giải một số bài tập mẫu luyện tập dạng toán này.

1. Số nguyên tố là gì?

• Định nghĩa: Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 chỉ có hai ước là 1 và chính nó.

* Ví dụ: U(5) = {1; 5} nên 5 là số nguyên tố

U(17) = {1; 17} vậy 17 là số nguyên tố

• Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 có nhiều hơn 2 ước.

* Ví dụ: U(9) = {1; 3; 9} là hợp số (có 3 ước)

U(15) = {1; 3; 5; 15} là hợp số (có 4 ước)

2. Làm thế nào để biết một số là số nguyên tố

– Để kết luận a là số nguyên tố (a>1) chỉ cần chứng minh a không chia hết cho mọi số nguyên tố có bình phương không vượt quá a.

3. Cách quy một số thành thừa số nguyên tố

• Tích một số tự nhiên lớn hơn 1 thành thừa số nguyên tố là viết số đó thành tích các thừa số nguyên tố.

• Để phân tích một số tự nhiên lớn hơn 1 thành thừa số nguyên tố, ta có thể làm như sau:

1- Kiểm tra xem 2 có phải là ước của a hay không. Mặt khác, chúng tôi xem xét số nguyên tố 3, v.v. để tăng số nguyên tố.

2- Giả sử p là ước nguyên tố nhỏ nhất của a, ta chia a cho p được thương b.

3- Tiếp tục quy trình trên cho b.

¤ Quá trình trên tiếp tục cho đến khi thương là một số nguyên tố.

• Cách tính thừa số theo cột dọc.

– Giả sử phải phân tích số đó ra thừa số nguyên tố: Ta chia số a cho một số nguyên tố (từ bé đến lớn: 2, 3, 5, 7, 11, 13,…), tiếp tục làm tròn thương vừa tìm được cho một số nguyên tố (cũng từ nhỏ đến lớn), và cứ thế cho đến khi thương là 1.

* Lưu ý khi quy một số thành thừa số nguyên tố:

– Từng bước phân tích lần lượt xét tính chất chia hết của các số nguyên tố từ bé đến lớn: 2, 3, 5, 7, 11, 13,…

– Cần vận dụng các dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9 đã học vào quá trình tính số chia hết.

– Khi phân tích một số theo cột dọc thì số nguyên tố ghi vào bên phải cột, các thương ghi vào bên trái cột.

– Dù nhân một số tự nhiên như thế nào thì cũng cho một kết quả như nhau.

* Ví dụ: Hãy tích các số sau thành thừa số nguyên tố: 160; 300

° Với đầu số 160 chúng tôi phân tích như sau:

→ Vậy: 160 = 2.2.2.2.2.5 = 25,5

° Với con số 300 chúng tôi phân tích như sau:

→ Vậy: 300 = 2.2.5.3.5 = 22.3.52

4. Cách tính số ước của số m (m>1).

• Ta xét dạng phân tích của số m ra thừa số nguyên tố:

– Nếu m = ax thì mx + 1 có ước

– Nếu m = ax.by thì m có (x + 1)(y + 1) ước

– Nếu m = ax.by.cz thì m có (x+1)(y + 1)(z + 1) ước.

5. Một số bài tập lập thừa số nguyên tố tổng quát

° Dạng 1: Tích một số đã cho thành thừa số nguyên tố

* Phương pháp giải: Sử dụng cách tính các số nguyên tố theo cột dọc ở trên.

* Ví dụ 1 (Bài 125 trang 50 SGK Toán 6 Tập 1): Đưa các số sau ra thừa số nguyên tố:

a) 60 b) 84 c) 285

d) 1035 e) 400 gam) 1000000

° Giải pháp:

a) Phân tích số 60 thành thừa số nguyên tố:

→ Vậy: 60 = 2.2.3.5 = 22.3.5

– Hoặc viết tắt: 60 = 2,30 = 2,2,15 = 2,2,3,5 = 22,3,5;

→ Tương tự ta có:

b) 84 = 2,42 = 2,2,21 = 2,2,3,7 = 22,3,7

c) 285 = 3,95 = 3,5,19

d) 1035 = 3.345 = 3.3.115 = 3.3.5.23 = 32.5.23

e) 400 = 2.200 = 2.2.100 = 2.2.2.50 = 2.2.2.2.25 = 2.2.2.2.5.5 = 24,52

g) – Cách 1 (dùng pp theo cột dọc như thông thường:

1 000 000 = 2 500 000 = 2.2.250 000 = 2.2.2.125 000

= 2.2.2.2.62500 = 2.2.2.2.2.31250 = 2.2.2.2.2.15625

= 26.5.3125 = 26.5.5.625 = 26.5.5.5.125 = 26.5.5.5.5.25

= 26.5.5.5.5.5.5 = 26,56

– Cách 2 (dùng lũy ​​thừa): 1 000 000 = 106 = (2,5)6 = 26,56

* Ví dụ 2 (Bài 126 trang 50 SGK Toán 6 Tập 1): Phân tích số 120; 306; 567 đưa ra các thừa số nguyên tố sau:

120 = 2.3.4.5; 306 = 2,3,51; 567 = 92,7

Làm như trên có đúng không? Hãy đính chính nếu An không làm đúng?

° Giải pháp:

– Làm như trên là không đúng. Vì phân tích 120 cũng chứa nhân tử là 4; 306 cũng chứa thừa số 51; 567 cũng chứa thừa số 9 không phải là số nguyên tố.

– Ta sửa lại như sau (bằng cách tiếp tục phân tích ra thừa số nguyên tố sau thừa số nguyên tố):

120 = 2.3.4.5 = 2.3.(2.2.5) = 23.3.5;

306 = 2,3,51 = 2,3.(3,17) = 2,32,17;

567 = 92,7 = 9,9,7 = 32,32,7 = 34,7;

* Ví dụ 3 (Bài 127 trang 50 SGK Toán 6 Tập 1): Hãy đưa các số sau ra thừa số nguyên tố và cho biết các số nguyên tố đó chia hết cho các số nào sau đây?

a) 225; b) 1800; c) 1050; d) 3060

° Giải pháp:

a) 225 = 5,45 = 5,5,9 = 5,5.3,3 = 32,52.

hoặc 225 = 152 = (3,5)2 = 15 = 32,52.

→ Vậy 225 chia hết cho các số nguyên tố 3 và 5.

b) 1800 = 2,900 = 2,2.450 = 2,2.2.225 = 23,32,52 (vì 225 = 32,52 ở câu a).

hoặc 1800 = 30,60 = (2,15).(4,15) = (2,3,5).(22,3,5) = 2,22.3.3.5,5 = 23,32,52.

→ Vậy 1800 chia hết cho các số nguyên tố 2; 3; 5.

c) 1050 = 2.525 = 2.3.175 = 2.3.5.35 = 2.3.5.5.7 = 2.3.52.7

→ Vậy 1050 chia hết cho số nguyên tố 2; 3; 5; 7.

d) 3060 = 2.1530 = 2.2.765 = 2.2.5.153 = 2.2.5.3.51 = 2.2.5.3.3.17 = 22.32.5.17

→ Vậy 3060 chia hết cho các số nguyên tố 2, 3, 5, 17.

° Dạng 2: Phân tích một số thành thừa số nguyên tố để tìm ước của nó

* Phương pháp giải: Sử dụng cách tính các số nguyên tố theo cột dọc ở trên.

– Tích một số đã cho thành thừa số nguyên tố

– Nếu c = ab thì a, b là hai ước của c

* Phải nhớ: a = bq a B(b) và b U(a) (với a, b, q ∈ N và b ≠ 0).

* Ví dụ 1 (Bài 128 trang 50 SGK Toán 6 Tập 1): Cho số a = 23,52.11. Có phải mọi số 4, 8, 16, 11, 20 đều là ước của a?

° Giải pháp:

• a = 23.52.11 = 22.2.52.11 = 4.2.52.11 ⋮ 4 nên 4 là ước của a.

• a = 23.52.11 = 8.52.11 ⋮ 8 nên 8 là ước của a.

• 16 không phải là ước của a, vì nếu 16 là ước của a thì a = 16.k = 24.k, nghĩa là khi chia a thành thừa số nguyên tố thì bậc của 2 phải ≥ 4 mới được. (ngược với bài toán vì bậc 2 chỉ bằng 3).

• a = 23.52.11 ⋮ 11 nên 11 là ước của a.

• a = 23.52.11 = 2.2.2.5.5.11 = 2.(2.2.5).5.11 = 2.20.5.11 ⋮ 20 nên 20 là ước của .

* Ví dụ 2 (Bài 129 trang 50 SGK Toán 6 Tập 1):

a) Cho số a = 5,13. Viết tất cả các ước của a.

b) Cho b = 25. Viết tất cả các ước của b.

c) Cho số c = 32,7. Viết tất cả các ước của c.

° Giải pháp:

a) a = 5,13. Các ước của a (5,13 = 65) là 1; 5; 13;

b) b = 25. Các ước của b ( 25 = 32) là 1; 2; 22 = 4; 23 = 8; 24 = 16;

c) c = 32,7. Các ước của c (32,7 = 63) là: 1; 3; 7; 32 = 9; 3,7 = 21;

* Ví dụ 3 (Bài 130 trang 50 SGK Toán 6 Tập 1): Đưa các số sau ra thừa số nguyên tố rồi tìm tập hợp các ước của mỗi số:

51; 75; 42; 30;

° Giải pháp:

• 51 = 3,17; ⇒ U(51) = {1; 3; 17; 51}.

• 75 = 3,25 = 3,52; ⇒ U(75) = {1; 3; 5; 15; 25; 75}.

• 42 = 2.3.7; ⇒ U(42) = {1; 2; 3; 6; 7; 14; 21; 42}

• 30 = 2,3,5; ⇒ U(30) = {1; 2; 3; 5; 6; mười; 15; 30}.

* Ví dụ 4 (Bài 132 trang 50 SGK Toán tập 1): Tâm có 28 viên bi. Tâm muốn xếp số bi đó vào các túi sao cho số bi trong các túi là số chẵn. Hỏi Tâm có thể xếp 28 viên bi này vào bao nhiêu túi? (bao gồm cả trường hợp đóng gói trong túi)

° Giải pháp:

– Ta có: số viên bi = (số túi) * (số viên bi trong túi)

– Vậy số túi phải là một ước của 28 (vì số bi là 28).

Mà U(28) = {1 ; 2; 4; 7; 14; 28}.

→ Vậy Tâm xếp được 28 viên bi vào 1; 2; 4; 7; 14 hoặc 28 túi.

* Ví dụ 5 (Bài 133 trang 50 SGK Toán tập 1):

a) Chia 111 thành thừa số nguyên tố rồi tìm tập hợp các ước của 111.

b) Thay dấu * bằng chữ số thích hợp vào sau

° Giải pháp:

a) Ta có 111 = 3,37 ; U(111) = {1, 3, 37, 111}.

b) Từ đó ta phải có và * đều là ước của 111 .

– Ước có 2 chữ số của 111 chỉ là 37. Vậy = 37 nên * = 3.

Xem thêm: Đằng Sau Những Ý Tưởng Mặt Nạ Cười Giả Tạo, Đằng Sau Mặt Nạ Mang Tên Nụ Cười

→ Vậy ta có 37,3 = 111.

° Dạng 3: Một số dạng toán tổng hợp ứng dụng Phân tích một số thành thừa số nguyên tố