Đạo hàm của hàm số mũ là một kiến thức gồm nhiều công thức để học sinh dễ nhớ. Bài viết sẽ hệ thống đầy đủ kiến thức cần nhớ kèm theo phương pháp giải hàm số mũ giúp các em học sinh dễ dàng tiếp thu kiến thức và ôn tập hiệu quả.
1. Bảng công thức nguyên hàm của hàm số mũ
Đạo hàm của hàm số mũ là bài toán có nhiều công thức cần nhớ. Dưới đây là những công thức cơ bản học sinh cần biết:
1.1. Các nguyên hàm cơ bản của hàm mũ e
Hàm số mũ e có các công thức cần nhớ như sau:
|
1. $\int e^{x}dx=e^{x}+C$ |
|
2. $\int e^{u}du=e^{u}+C$ |
|
3. $\int e^{ax+b}dx=\frac{1}{a}.e^{ax+b}+C$ |
|
4. $\int e^{-x}dx=-e^{x}+C$ |
|
5. $\int e^{-u}du=-e^{-u}+C$ |
1.2. Nguyên hàm tổ hợp của cấp số nhân e
Khi chúng ta kết hợp nguyên hàm lượng giác cơ bản với hàm mũ e, chúng ta sẽ có công thức sau:
|
1. $\int ue^{au}du=\left ( \frac{u}{a}-\frac{1}{a^{2}}\right )e^{au}+C$ |
|
2. $\int u^{n}e^{au}du=\frac{u^{n}e^{au}}{a}-\frac{n}{a}\int u^{n- 1}e^{au}du+C$ |
|
3. $\int cos(ax).e^{bx}dx=\frac{(a.sin(ax)+b.cos(ax)).e^{bx}}{a^{2}+b ^{2}}+C$ |
|
4. $\int cos(au).e^{bu}du=\frac{(b.sin(au)-a.cos(au)).e^{bx}}{a^{2}+b ^{2}}+C$ |
1.3. Tổ hợp hàm mũ nguyên thủy
|
1. $\int a^{x}dx=\frac{a^{x}}{lna}+C$ với $(a>0, a\neq 1)$ |
|
2. $\int a^{u}du=\frac{a^{u}}{lna}+C$ với $(a>0, a\neq 1)$ |
|
3. $\int a^{mx+n}dx=\frac{1}{m}.\frac{a^{mx+n}}{lna}+C (m\neq 0)$ |
|
4. $\int u^{n}.sinudu=-u^{n}.cosu+\int u^{n-1}.cosudu$ |
|
5. $\int u^{n}.cosudu=u^{n}.sinu-n\int u^{n-1}.sinudu$ |
2. Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit
Nguyên hàm của hàm số là khi hàm số f(x) xác định trên K.
Bạn đang xem: Tìm nguyên hàm của hàm số
Hàm F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K nếu F”(x) = f(x) x ∈ K.
2.1. Sử dụng các hình thức nguyên thủy cơ bản
Để giải bài toán tìm nguyên hàm mũ hoặc lôgarit ta có thể sử dụng các phép biến đổi đại số. Ta sẽ biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân về dạng nguyên hàm cơ bản đã học.
Chúng ta có bảng nguyên thủy cơ bản như:
Bảng công thức nguyên hàm mở rộng:
Ví dụ 1: Nguyên hàm của hàm số sau là gì?
f(x)=$\frac{1}{e^{x}-e^{-x}}$
Giá:
Chúng ta có:
$\int f(x)dx=\int \frac{d(e^{x})}{e^{2x-1}}=\int \frac{d(e^{x})}{e^ {2x-1}}=\frac{1}{2}ln\left | \frac{e^{x}-1}{e^{x}+1} \right |+C$
Ví dụ 2: Hàm nguyên hàm: f(x)=$\frac{ln(ex)}{3+xlnx}$
Giá:
2.2. Phương pháp phân tích
Học sinh làm quen với phương pháp giải tích để tính định thức nguyên hàm. Đây thực chất là một dạng của phương pháp hệ số bất định, nhưng chúng ta sẽ sử dụng các đặc điểm nhận dạng đã biết.
Lưu ý: Nếu học sinh khó chuyển sang dạng cơ bản thì làm theo 2 bước sau:
Thực hiện phép biến đổi của biến t=$e^{x}$, biến này dẫn đến $dt=e^{x}dx$.
$e^{x}\sqrt{e^{2x}-2e^{x}+2}dx=\sqrt{t^{2}-2t+2dt}=\sqrt{(t-1)^{2 }+1dt}$
Bây giờ: $\int f(x)dx=\int \sqrt{(t-1)^{2}+1dt}$
Thực hiện phép biến đổi u=t-1, suy ra du=dt
Ví dụ 1: Nguyên hàm của hàm f(x)=$\frac{1}{1-e^{x}}$
Giá:
Ví dụ 2: Nguyên hàm của hàm f(x)= $e^{x}\sqrt{e^{2x}-2e^{x}+2}$
Giá:
2.3. phương pháp biến
Phương pháp biến đổi được sử dụng cho các hàm logarit và hàm mũ với mục đích chuyển các biểu thức dưới dấu tích phân sang dạng vô tỉ hoặc hữu tỉ. Để sử dụng phương pháp này trong nguyên hàm hàm mũ, chúng ta thực hiện các bước sau:
Chọn t = φ(x). Trong đó φ(x) là hàm chúng ta chọn.
Đạo hàm dt = φ”(x)dx.
Biểu thị f(x)dx = g φ”(x)dx = g
