hàm liên tục là một phần kiến thức quan trọng trong môn Toán. Để làm được các bài tập này, bạn cần nắm chắc lý thuyết và các tính chất cơ bản. Dưới đây x-lair.com xin tổng hợp toàn bộ kiến thức và bài tập nhằm giúp các bạn học tập tốt hơn. Hãy cùng nhau theo dõi bài viết này nhé!
Khi học lên chương trình cao hơn, các em sẽ được học về hàm số liên tục dạng toán nâng cao, hàm số liên tục casio. Ở đây khái niệm hàm số liên tục được hiểu theo một cách trừu tượng khác.
Bạn đang xem: Cách xác định hàm số liên tục
Hàm số liên tục trên một điểm
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x0 thuộc (a;b). Khi đó hàm số f(x) sẽ liên tục tại x0 khi: Lim
Giả sử các hàm số y = f(x), y = g(x) được coi là liên tục tại điểm x0. Sau đó:
Các hàm số y = f(x) + g(x) và y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) sẽ liên tục tại x0.
Hàm số y = f(x)/g(x) sẽ liên tục tại x0 nếu g(x0) khác 0.
Hàm liên tục với một khoảng
Ta có hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) khi nó liên tục trên các điểm thuộc khoảng đó. Khi hàm số đã cho liên tục trên khoảng (a;b) thì hàm số tương ứng đồng biến trên khoảng đó, đồ thị của hàm số là một đường liền nét liên tục.
Hàm liên tục với một khoảng
Hàm số y = f(x) được coi là liên tục trên đoạn khi nó liên tục trên mọi điểm với khoảng (a;b) và khi đó: limx→a + f(x) = f(a), limx→b − f(x) = f(b).
Định lý cơ bản của hàm số liên tục
Nhằm giúp bạn đọc hiểu sâu hơn về hàm số liên tục. Dưới đây x-lair.com đã tổng hợp ngắn gọn kiến thức về định lý hàm số liên tục. Cùng theo dõi để làm bài tập tốt hơn nhé!
Tuyên bố 1: Khi tính tổng, tích, hiệu, hiệu của hai hàm số liên tục tại một điểm. Khi đó các hàm số đó sẽ liên tục tại điểm đó (thương và mẫu số tại điểm đó phải khác không).
Tuyên bố 2:
Hàm đa thức liên tục trên R .
Hàm số lượng giác và phân số hữu tỉ liên tục trên những khoảng xác định của tập xác định.
Các hàm cơ bản sẽ luôn liên tục trong các khoảng nhất định.
Tuyên bố 3: Nếu hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên khoảng và f(a).f(b) nhỏ hơn 0 thì luôn tồn tại ít nhất một điểm c thuộc (a;b) sao cho f(c) = 0.
Các dạng toán tổng quát về hàm số liên tục
Để củng cố kiến thức về hàm số liên tục, dưới đây x-lair.com xin giới thiệu đến các bạn một số dạng toán thường gặp về hàm số liên tục.
Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm xác định.
Để xét tính liên tục của hàm số đã cho tại điểm x0 ta lần lượt thực hiện các bước sau:
Bước 1: Kiểm tra xem hàm số đã cho có xác định trên khoảng x0 hay không, sau đó tính giá trị tại f(x0).Bước 2: Tính limx→x0f(x). Trong nhiều trường hợp chúng ta cần tính limx→x0 + f(x), limx→x0 – f(x).Bước 3: So sánh limx→x0f(x) với f(x0) rồi kết luận.
Dạng 2: Xét tính liên tục, chứng minh hàm số liên tục trên khoảng hoặc tập xác định
Để giải bài toán này, chúng ta hãy xem ví dụ sau:
Ví dụ 1: Xét tính liên tục của hàm số: f(x) = (x2+5x)/x khi x khác không và khi x = 0, trên R.
Đưa ra hướng dẫn:
Rõ ràng ta thấy khi x khác 0 thì hàm số đã cho luôn là hàm phân thức. Và nó hoàn toàn xác định nên nó liên tục trên mọi khoảng.
Do đó bây giờ ta chỉ xét tính liên tục tại x = 0. Chúng ta có:
Giá trị của hàm tại x = 0 là f(0) = 5
Giới hạn của hàm số tại x = 0 là limx→0f(x) = limx→0.2 + 5.x = limx→0(x + 5) = 5
Ta thấy limx→0f(x) = f(0) nên hàm số đã cho liên tục tại x = 0
Một thủ thuật nhỏ cho phép bạn sử dụng chức năng của máy tính để tính hàm đó là nhấn nút liên tục. Hãy sử dụng phím Solve trên máy tính để tra nhanh đáp án của bài toán.
Dạng 3: Tìm điều kiện để hàm số liên tục tại một điểm
Để giải quyết vấn đề này, chúng tôi sử dụng phương pháp sau. Trước hết cần áp dụng điều kiện để phương trình có nghiệm và hàm số liên tục:
Điều kiện để hàm số liên tục tại x0:
Điều kiện để hàm số liên tục trên tập D là f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc D.
Phương trình f(x) = 0 phải có ít nhất một nghiệm nếu hàm số y = f(x) liên tục trên D và cả hai số a và b đều thuộc D.
Dạng 4: Tìm điều kiện để hàm số liên tục trên một khoảng hoặc tập xác định
Để giải dạng này các em phải áp dụng Định lý 1 và 2 để tìm tính liên tục của nó trên từng khoảng xác định. Nếu hàm số đã cho xác định bởi 2 hoặc 3 căn thức thì ta xét tính liên tục tại các điểm đặc biệt đó.
Ví dụ: Tìm a để hàm số liên tục trên tập xác định: f(x) = (2 – 7x + 5×2)/(x – 1) với điều kiện x khác 1 hoặc x = 1
Hướng dẫn giải:
Đầu tiên xét trường hợp x khác 1 thì hàm số đã cho là một phân số hữu tỉ.
Khi x = 1 thay vào hàm số đã cho. Khi đó hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 1 khi và chỉ khi m = -4/3.
Dạng 5: Ứng dụng hàm số liên tục chứng minh phương trình có nghiệm
Đầu tiên ta phải áp dụng định lý: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn đã cho và f(a).f(b) nhỏ hơn 0 thì phương trình f(x) = 0 luôn có có ít nhất 1 nghiệm nằm trong khoảng (a; b).
Các bước cụ thể để chứng minh đẳng thức như sau:
Bước 1: Biến đổi của phương trình đã cho phải được chứng minh ở dạng f(x) = 0.
Xem thêm: Tổng hợp đề minh họa môn văn 2020, đề thi minh họa môn văn thpt quốc gia 2020
Bước 2: Tiếp theo ta cần tìm 2 số a và b (a nhỏ hơn b) sao cho f(a).f(b) nhỏ hơn 0
Bước 3: Cuối cùng, chứng minh rằng hàm số y = f(x) luôn liên tục trên đoạn đã cho.
Đây là kiến thức chung chức năng liên tục. Hy vọng bài viết này sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập. Chúc bạn luyện toán thật tốt nhé x-lair.com được giới thiệu trong bài để học tốt hơn!
