Công thức lượng giác trong tam giác vuông, cân, bình thường và bài tập

Bài viết hôm nay, THPT Sóc Trăng sẽ giới thiệu đến các em các công thức tính lượng giác trong tam giác vuông, cân, bình thường và nhiều dạng bài tập thường gặp. Các em hãy dành thời gian tìm hiểu để hiểu rõ hơn về chuyên đề vô cùng quan trọng này của Hình học 12 nhé!

I. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC ĐÚNG

1. Hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Bạn đang xem: Công thức lượng giác, đường cân, bình thường và bài tập

Cho ΔABC, góc A bằng 900, AH ⊥ BC, AB = c, AC = b, BC = a, AH = h thì:

BH = c’ gọi là hình chiếu của AB xuống BCCH = b’ gọi là hình chiếu của AC xuống BC

Sau đó chúng tôi có:

c2 = ac’ (AB2 = BH.BC) b2 = ab’ (AC2 = CH.BC)h2 = b’.c’ (AH2 = CH.BH)bc = ah (AB.AC = AH.BC )1/ h2 = 1/b2 + 1/c2 (1/AH2 = 1/AB2 + 1/AC2)b2 + c2 = a2 (AB2 + AC2 = BC2) (Định lý Pitago)

2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Một. Định nghĩa

sinα = cạnh đối diện chia cho cạnh huyền α = cạnh kề chia cho cạnh huyền α = cạnh đối diện chia cho cạnh huyền α = cạnh kề chia cho cạnh đối diện

b. Tuyên bố

Nếu hai góc kề bù thì sin của góc này bằng cosin của góc kia, tang của góc này bằng cotang của góc kia.

Bạn đang xem: Công thức lượng giác tam giác vuông

c. Một số công thức cơ bản

d. So sánh các tỉ số lượng giác

Cho góc nhọn α, ta có:

a) Cho hai góc α và β là hai góc nhọn. Nếu α sinα cosα > cosβ; cotα > cotβ

b) sinα 3. Tỉ số góc và tỉ số cạnh trong tam giác vuông

Một. các hệ thống

Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh của góc vuông bằng:

Cạnh huyền nhân với sin của góc đối diện hoặc nhân với cosin của góc kề Góc vuông kia nhân với tan của góc đối diện hoặc cos của góc kề

b = a.sinB = a.cosCc = a.sinC = a.cosBb = c.tanB = c.cotCc = b.tanB = b.cotC

4. Giải tam giác và áp dụng vào đo lường

Giải tam giác: Giải tam giác là tìm một số phần tử của tam giác khi biết các phần tử khác của tam giác đó.

Để giải một tam giác, ta phải tìm mối liên hệ giữa các thừa số đã cho và các thừa số chưa biết của tam giác bằng cách sử dụng các mối liên hệ đã nêu trong định lý cosin, định lý sin và các công thức tính diện tích tam giác.

Bài toán tam giác:

Có 3 bài toán cơ bản về giải tam giác:

a) Giải tam giác khi biết một cạnh và hai góc.

Đối với bài toán này, ta sử dụng định lý sin để tính cạnh dư

b) Giải tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa

Đối với bài toán này, chúng ta sử dụng định lý cosin để tính cạnh thứ ba

c) Giải tam giác khi biết ba cạnh

Đối với vấn đề này, chúng tôi sử dụng định lý cosin để tính góc.

Xin lưu ý:

Cần lưu ý rằng một tam giác giải được khi biết 3 yếu tố của nó, trong đó phải có ít nhất một yếu tố độ dài (tức là hệ số góc không được vượt quá 2).

II. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC GỐC

1. Định lý Cosin

Trong bất kỳ tam giác nào, bình phương của một cạnh bằng tổng bình phương của hai cạnh kia trừ đi hai lần tích của hai cạnh đó nhân với cosin của góc xen giữa chúng.

a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA;b2 = c2 + a2 – 2ca.cosB;c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC.

Kết quả:

Cos A = (b2 + c2 – a2)/2bcCos B = (a2 + c2 – b2)/2acCos C = (a2 + b2 – c2)/2ab

2. Lời tuyên bố của Sin

Trong bất kỳ tam giác ABC nào, tỉ số của một cạnh với sin của góc đối diện với cạnh đó bằng đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Chúng ta có :

a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R

Trong đó R là nửa đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

Ngoài ra các bạn nên tìm hiểu thêm các công thức lượng giác chi tiết cụ thể tại đây.

3. Độ dài đường trung tuyến của tam giác

Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh BC = a, CA = b, AB = c. Gọi ma, mb, mc lần lượt là độ dài các trung tuyến kẻ từ các đỉnh A, B, C của tam giác. Chúng ta có

ma2 = /4mb2 = /4mc2 = /4

4. Công thức tính diện tích tam giác

Ta kí hiệu ha, hb và hc là các đường cao của tam giác ABC vẽ từ các đỉnh A, B, C và S lần lượt là diện tích của tam giác đó. Diện tích S của tam giác ABC được tính theo một trong các đẳng thức sau, công thức sau:

S = ½absinC = ½bcsinA = ½casinBS = abc/4RS = prS = √p(p – a)(p – b)(p – c) (công thức he-rong)

III. CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG Tam giác vuông, đều, đều

Ví dụ 1: Cho ABC có AB = 12, BC = 15, AC = 13

Một. Tính số đo các góc ABC

b. Tính độ dài các đường trung bình của ABC

c. Tìm diện tích tam giác ABC, bán kính đường tròn ngoại tiếp và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

d. Tìm độ dài đường cao nối các đỉnh của tam giác ABC

Câu trả lời:

Một. Áp dụng phương trình lượng giác ta có:

c. Để tính diện tích chính xác nhất ta sẽ áp dụng công thức Heron

IV. MỘT SỐ BÀI TẬP THÊM VỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

Bài 1: Cho ∆ABC vuông tại A. Biết ABAC=57. Chiều cao là AH = 15cm. Áp dụng hệ thức lượng giác vào tam giác vuông, tính HB, HC.

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trong đó AB = 12cm, AC = 16cm, đường kính AD, chiều cao AH. Tính HD, HB, HC.

Bài 3: Cho ∆ABC vuông tại A. Vẽ đường cao AH, tính chu vi ∆ABC biết AH = 14cm, HBHC = 14

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Có chiều cao AH. Biết AB = 20cm, HC = 9cm. Tính độ dài AH.

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh BD là tia phân giác của góc B. Biết rằng AD = 2cm; BD = 12 cm. Tính độ dài BC của nó.

Bài 6: Cho tam giác ABC , Góc B = 60 độ, BC = 8cm; AB + AC = 12cm. Tính độ dài AB của nó.

Bài 7: Cho hình thang cân ABCD. Mà đáy lớn của hình thang là CD = 10cm, đáy nhỏ bằng chiều cao, hai đường chéo vuông góc với cạnh bên của hình thang. Tính độ dài chiều cao của nó.

Bài 8:

Một. Cho tam giác ABC có Góc B = 60 độ, Góc C = 50 độ, ?? = 35?? . Tính diện tích tam giác ABC.

b. Cho tứ giác ABCD có góc A = Góc D = 90 độ, Góc C = 40 độ, ?? = 4??, ?? = 3?? Tính diện tích tứ giác ABCD.

c. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Kể ?? = 4, ?? = 5, Góc AOB = 50 độ. Tính diện tích tứ giác ABCD bằng hàm lượng giác.

Bài 9: Cho ∆ABC vuông góc với A, vẽ chiều cao AH, chu vi tam giác AHB = 40cm, chu vi ∆ACH = 5dm. Tính các cạnh BH, CH và chu vi ∆ABC.

Bài 10: Chu vi của một tam giác là 120 cm. Độ dài các cạnh lần lượt tỉ lệ với 8, 15, 17.

a) Chứng minh đó là tam giác vuông.

b) Tính khoảng cách từ giao điểm của ba đường trung trực đến mỗi cạnh của tam giác.

Xem thêm: Bản Dịch Day Of The Dead Là Gì, Từ Vựng Day Of The Dead Bản Dịch

Đăng bởi: THPT Sóc Trăng

Bản quyền bài viết này thuộc về THPT Sóc Trăng. Mọi sao chép đều là gian lận.