Nguyên hàm lượng giác là một phần quan trọng trong chương trình toán phổ thông. Các công thức số nguyên lượng giác nói riêng khá phức tạp. Vì vậy để làm được bài tập các em phải học thuộc lòng và biết vận dụng công thức. Cùng x-lair.com ôn tập các công thức và bài tập hàm số nguyên lượng giác qua bài viết dưới đây.
1. Bảng công thức tính nguyên hàm lượng giác đầy đủ nhất
Bảng công thức nguyên hàm của hàm số lượng giác là kiến thức rất quan trọng khi học chương trình toán lớp 12, đặc biệt là phần giải tích. Dưới đây là toàn bộ công thức số nguyên lượng giác cơ bản nhất được các em học sinh áp dụng nhiều trong quá trình làm bài tập.
Bạn đang xem: Hàm số lượng giác
2. Các dạng số nguyên lượng giác cơ bản
Hình thức 1: Nguyên hàm của $I = sin^{m}xcos^{n}xdx$
Trường hợp 1: Nếu m = 2k + 1 $\Rightarrow I = \int sin^{2k}xcos^{n}x.sinxdx$
$= – \int (1-cos^{2}x)^{k} . cos^{n}xd (cosx) \Rightarrow$ Đặt $t = cosx$
Trường hợp 2: Nếu n = 2k+1 $\Rightarrow$ Đặt $t = sinx$
Trường hợp 3: Nếu m, n chẵn ta dùng công thức bậc dưới
Lưu ý: Đối với nguyên hàm chỉ chứa dạng sinx và cosx.
I = ∫f(sinx) cosxdx = ∫f(sinx)d(sinx) → Đặt t = sinx
I = ∫f(cosx) sinxdx = −∫f(cosx) d(cosx) → Đặt t = cosx
Mẫu 2: Nguyên hàm $I= \int \frac{dx}{sin^{m}x.cos^{n}x} = \frac{sin^{2}x.cos^{n}x}{sin^{m } x.cos^{n}x} ….$
Trường hợp 1:
Nếu m= 2k+ 1 $I= \int \frac{sinxdx}{sin^{2k+2}x}.cos^{n}x = – \int \frac{d(cosx)}{(1 – cos^ {2}x)^{k+1}} . cos^{n}x$
Sau đó, chúng tôi đặt: $t= cosx$
Trường hợp 2: Nếu n= 2k + 1 → Đặt $t= sinx$
Trường hợp 3: Nếu m, n chẵn ta có: $\frac{dx}{sin^{m}x} . cos^{n}x = \frac{sin^{2}x.cos^{n}x}{sin^{m}x.cos^{n}x}$
Mẫu 3: Nguyên hàm lượng giác của hàm tanx và cotx
Các nguyên hàm chứa $tanx$ hoặc $cotx$ ta thường dùng hằng đẳng thức
$\frac{1}{sin^{2}x} = 1+ cos^{2}x ; \frac{1}{cos^{2}x = 1+tan^{2}}x$
Nguyên thủy có mẫu là lớp 2 với $sinx$ và $cotx$
$Asin^{2}x + Bsinx.cosx + Ccos^{2}x$ thì ta chia cả tử và mẫu cho $cos^{2}x$
Mẫu 4:Primitive sử dụng công thức để chuyển tích thành tổng
$\int cosax . cosbxdx = \frac{1}{2}\int
$\int đồng nghĩa . sinbxdx = \frac{-1}{2}$
$\int
$\int sinax.cosbxdx= \frac{1}{2} \int
$\int cosax.sinbxdx = \frac{1}{2} \int
Chúng ta có: $\int \frac{dx}{msin^{2}\frac{x}{2}+nsin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}+pcos^{x} \frac{x}{2}} = \int \frac{dx}{cos^{2}\frac{x}{2}(mtan^{2}\frac{x}{2}+ntan\frac{ x}{2}+p)} \overset{t=tan\frac{x}{2}}{\rightarrow} I= \int \frac{dt}{mt^{2}+nt+p}$3. Một số hàm số nguyên lượng giác và cách giải
Câu 1: Nguyên hàm của hàm số: y = 7sinx?
A. 7sinx+C.
B. 7cosx+C.
C. –7cosx+C.
D. Tất cả đều sai.
Giá
Ta có: ∫7sinx dx = 7∫sinx dx = -7cosx +C.
Chọn C
Câu 2: Nguyên hàm của hàm số y = 6sinx + 8cosx là:
A. –6cosx – 8sinx +C.
B. 6cosx + 8sinx +C.
C. –6cosx + 8sinx +C.
D. 6cosx – 8sinx + C
Giá
Chúng ta có:
∫(6sinx + 8cosx)dx = 6∫sinx dx + 8∫cosx dx = -6cosx + 8sinx + C.
Chọn C
Câu 3: Tìm nguyên hàm của hàm số y = 8sinx – 8cosx
A. 8cosx – 8sinx.
B. -8cosx – 8sinx.
C. 8cosx + 8sinx.
D. Tất cả đều sai.
Giá
Ta có: ∫(8sinx – 8cosx)dx = 8∫sinx dx – 8∫cosx dx = -8cosx – 8sinx
Chọn B
Câu 4: Tính: I = ∫sin(x2 – x + 1).(2x – 1)dx
A. cos(x2 – x + 1) + c.
B. -2 cos(x2 – x + 1) + c.
C. -1/2 . cos(x2 – x + 1).
D. -cos(x2 – x + 1).
Xem thêm: Có nên dùng Miếng dán lột mụn hay không, cách dùng như thế nào?
Giá
Ta có: sin(x2 – x + 1).(2x – 1)dx = sin(x2 – x + 1).(x2 – x + 1)” dx
= sin(x2 – x + 1).d(x2 – x + 1)
Đặt uu = x2 – x + 1, ta được:
⇒ I = ∫sin(x2 – x + 1).(2x – 1) dx = ∫sin(x2 – x + 1).d(x2 – x + 1)
Tôi = sinudu = -cosu + C = -cos(x2 – x + 1) + c
Đã chọn.
Câu 5:
Tính toán
A. 3ln|cosx + 2| – ln|cosx + 1| + c
B. -3ln|cosx + 2| – ln|cosx + 1| + c
C. 4ln|cosx + 2| + 2ln|cosx + 1| + c
D. 2ln|cosx + 2| – 3ln|cosx + 1| + c
Giá:
Câu 6: Tìm nguyên hàm của hàm số y = x + tan2x
Giá:
Chúng ta có
Câu 7: Tìm nguyên hàm của hàm số y = sin7x – 7cos2x + lne
Câu 8: Nguyên hàm của hàm số
y = 2cos6x – 3sin4x có dạng F(x) = a.sin6x + b.cos4x. Tính 3a + 4b?
A. -4
B 4
C. 2
D. -2
Giá:
Câu 9: Tìm nguyên hàm của hàm số
Giá:
Chúng ta có:
Câu 10: Tìm nguyên hàm sau: $I = \int \frac{2dx}{\sqrt{3}sinx+cosx}$
Giá
Câu 11: Tính nguyên hàm sau: $J= \int\frac{dx}{{cos2x}- \sqrt{3}sin2x}$
Giá
Câu 12: Tìm nguyên hàm sau $I= \int\frac{dx}{3cosx + 5sinx +3}$
Giá
Câu 13: Tính nguyên hàm sau $I= \int\frac{dx}{sin^{2}x + 2sinxcosx 2cos^{2}x}$
Giá
Câu 14: Tính các nguyên hàm sau $I= \int \frac{4sinx+ 3cosx}{sinx+ 2cosx}$
Giá
Bài 15: Tìm nguyên hàm $J= \int\frac{3 cosx- 2 sinx}{cosx-4sinx}dx$
Giá:
Ta tìm A, B sao cho
3 cosx- 2 sinx= A(cosx- 4sinx) + B(-sinx-4cosx
Câu 16: Tính nguyên hàm của $I=\int\frac{8cosx}{(\sqrt{3} sinx + cosx)^{2}}dx$
Giá
Câu 17: Tính nguyên hàm $I=\int\frac{8sinx+cosx+5}{(2sinx-cosx+1)}$
Giá
Câu 18: Tính nguyên hàm $I= \int cos3xcos4xdx$
Giá
Câu 19: Tính nguyên hàm sau $I=\int (sin^{3}x cos3x+cos^{3}xsin3x)dx$
Giá
Câu 20: Tính nguyên hàm sau $I= \int \frac{dx}{sinxcos^{3}x}$
Giá
Câu hỏi 21: Tính nguyên hàm $\int \frac{sin3x. sin4x}{tanx + tan2x}$
Giá
Câu 22: Tính nguyên hàm $\int \frac{dx}{sin^{3}x}$
Giá
Câu 23: Tính nguyên hàm $I= \int \frac{dx}{sinx sin(x+\frac{π}{6})}$
Giá
Câu 24: Tính nguyên hàm của
$I= \int tanx.tan(\frac{\pi}{3}-x)tan (\frac{\pi}{3}+x)dx$
Giá
Câu 25: Tính nguyên hàm của $I= \int \frac{dx}{sinx(x+\frac{\pi}{6})+cos(x+\frac{\pi}{12})}$
Giá
Để hiểu sâu hơn và thành thạo hơn trong việc giải các bài toán nguyên hàm cơ bản bằng cách áp dụng cách giải nguyên hàm tích phân, các em cùng x-lair.com theo dõi bài giảng tiếp theo của thầy Thành Đức Trung nhé!
Sau bài viết này, chúng tôi mong rằng các em đã nắm chắc toàn bộ lý thuyết và công thức về số nguyên lượng giác, từ đó vận dụng vào bài tập một cách hiệu quả. Để có thêm kiến thức và các dạng toán hay, các em truy cập ngay x-lair.com để đăng ký tài khoản hoặc liên hệ trung tâm hỗ trợ để có kiến thức tốt nhất chuẩn bị cho kỳ thi đại học.
