Phương trình mặt cầu tuy không có nhiều dạng toán như phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng nhưng cũng là dạng toán có trong chương trình thi THPT liên quan đến đường thẳng và mặt phẳng.

Bạn đang xem: So Sánh Mặt Cầu Điều Kiện

Vì vậy, trong bài viết này chúng tôi hệ thống lại một số dạng bài tập về phương trình mặt cầu, giải các dạng toán về phương trình mặt cầu để thấy được mối quan hệ chặt chẽ giữa đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.

” Đừng bỏ lỡ: Các dạng toán về phương trình bậc trong không gian Oxyz cực hay

I. Lý thuyết mặt cầu, phương trình mặt cầu

1. Khối cầu là gì?

– Định nghĩa: Cho điểm O cố định và số thực dương R. Tập hợp tất cả các điểm M trong không gian cách O một khoảng R gọi là mặt cầu có tâm O, bán kính R.

– Biểu tượng: S(O;R) S(O;R) = {M/OM = R}

2. Các dạng phương trình mặt cầu

• Phương trình chính tắc của mặt cầu:

– Mặt cầu (S) có tâm O(a; b; c), bán kính R > 0 có trục pt:

(S): (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2

• So sánh chung của hình cầu:

(S): x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0

◊ Điều kiện so sánh

◊ Nếu OH

5. Chu vi trong không gian Oxyz

– Đường tròn (C) trong không gian Oxyz được coi là giao tuyến của (S) và mặt phẳng (P).

(S): x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0

(P): Ax + By + Cz + D = 0

– Xác định tâm O’ và bán kính r của (C).

° Tâm O” = d ∩ (P).

° Bán kính:

* 6. Điều kiện tiếp xúc giữa đường thẳng với mặt cầu, mặt phẳng với mặt cầu

+ Tiếp tuyến của mặt cầu (S)⇔ d = RẺ

+ Mặt phẳng (P) là tiếp tuyến của mặt cầu (S)⇔ d = RẺ

*

* II. Các dạng bài tập toán về phương trình mặt cầu

•

Dạng 1: Viết phương trình mặt cầu có tâm và bán kính

* Phương pháp:

+) Cách 1: Viết PT mặt cầu chính tắc

Bước 1: Xác định tọa độ tâm O(a; b; c).

Bước 2: Xác định bán kính R của (S).

Bước 3: Mặt cầu (S) có tâm O(a; b; c) và bán kính R là:

(S): (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 +) Cách 2: Viết phương trình mặt cầu ở dạng tổng quát

– So sánh cuộc gọi (S): x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0

– Phương trình (S) hoàn toàn xác định nếu biết a,b,c,d a2 + b2 + c2 – d > 0.

* Ví dụ 1:

Viết phương trình mặt cầu (S), trong các trường hợp sau:

1. (S) có tâm O(2; 2; -3) và bán kính R = 3.

2. (S) có tâm O(1; 2; 0) và (S) đến và bao gồm P(2; -2; 1)

3. (S) có đường kính AB với A(1; 3; 1) và B(-2; 0; 1)

* Câu trả lời: 1. (S) có tâm O(2; 2; -3) và bán kính R = 3. có phương trình là:

(x – 2)2 + (y – 2)2 + (z + 3)2 = 9 2. (S) có tâm O(1; 2; 0) và (S) đến và bao gồm P(2; -2; 1)

* * – Quả cầu trung tâm

O(1; 2; 0) bán kính R = OP = 3√2 có phương trình:

(x – 1)2 + (y – 2)2 + z2 = 18

– Chúng ta có:

*

– Hình cầu và bán kính trung tâm

*

*

* Ví dụ 2:

Viết phương trình mặt cầu (S), trong các trường hợp sau:

1. (S) qua A(3; 1; 0), B(5; 5; 0) và tâm I thuộc trục Os.

3. (S) có tâm I(-1; 2; 0) và có tiếp tuyến Δ:

*

1) Gọi I(a; 0 ; 0) ∈ Os, ta có:

*

⇒ I(10; 0; 0) và

– Mặt cầu có tâm I(10; 0; 0) và bán kính

*

có phương trình là:

(x – 10)2 + y2 + z2 = 50

*

– Mặt cầu có tâm O(0; 0; 0) và bán kính R = 3 có phương trình:

3) Chọn A(-1; 1; 0) Δ ⇒

– Đoạn thẳng có VTCP

*

* *

= RẺ

⇒ Mặt cầu do đó có tâm I(-1; 2; 0) và bán kính

*

*

* Ví dụ 3:

Viết phương trình mặt cầu (S) biết:

1. (S) qua bốn điểm A(1; 2; -4), B(1; -3; 1) , C(2; 2; 3) và D(1; 0 ; 4)

2. (S) qua A(0; 8; 0), B(4; 6; 2), C(0; 12; 4) và có tâm I thuộc mp(Oyz)

* Câu trả lời:

a) Có thể giải theo hai cách:

* Cách 1: Viết dạng chính tắc của mặt cầu

*

*

⇒ Mặt cầu (S) có tâm I(-2;1;0) và bán kính có phương trình là:

(x+2)2 + (y – 1)2 + z2 = 26 * Cách 2: Viết pt mặt cầu ở dạng tổng quát –

Để phương trình của mặt cầu có dạng:

x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 , (a2 + b2 + c2 – d > 0).

*

*

– Giải hệ điểm trên và thế vào các điểm của mặt cầu, ta được:

(x+2)2 + (y – 1)2 + z2 = 26

– Ta lại có: IA = IB = IC

*

⇒ Mặt cầu có tâm I(0,7,5) và bán kính có pt là: x2 + (y – 7)2 + (z – 5)2 = 26.

•

Dạng 2: Vị trí tương đối giữa mặt cầu với mặt phẳng và đường thẳng

* Phương pháp: – Sử dụng các công thức liên quan về vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng cầu:

+ Tiếp tuyến của mặt cầu (S)⇔ d = RẺ

+ Mặt phẳng (P) là tiếp tuyến của mặt cầu (S)⇔ d = RẺ

Cho đường thẳng Δ:

và mặt cầu (S):

*

tìm số giao điểm của Δ và (S).

– Đường thẳng đi qua điểm M(0,1;2) và có VTCP là

*

– Mặt cầu (S) được viết lại:

(x2 – 2x + 1) + y2 + (z2 + 4z + 4) – 4 = 0

(x – 1)2 + y2 + (z+2)2 = 4

– Chúng ta có

Và

* – Ta thấy: d(I, Δ) > R nên đường thẳng không cắt mặt cầu.

* Ví dụ 2:

Cho điểm I(1;-2;3).

b) Viết phương trình mặt cầu có tâm I tiếp xúc với đường thẳng (Δ):

*

* Câu trả lời:

a) Viết phương trình mặt cầu có tâm I và tiếp tuyến với trục Oy.

– Chúng ta có:

⇒

*

là bán kính mặt cầu cần tìm.

⇒ (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 10.

– Phương trình đường thẳng (Δ) đi qua điểm M(-1;2;-3) có VTCP

– Chúng ta có

*

⇒ So sánh bán kính mặt cầu I(1;-2;3)

*

Được: (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 50.

Mặt cầu (S) có tâm I(2;3;-1) cắt đường thẳng (Δ):

*

tại 2 điểm A, B sao cho AB = 16. Viết phương trình của (S).

* Câu trả lời:

– Gọi H là hình chiếu của I lên (Δ) nên

– Chúng ta có

*

⇒

*

*

⇒ Mặt cầu (S) có tâm I(2;3;-1) và bán kính R = 17 có phương trình: (x – 2)2 + (y – 3)2 + (z + 1)2 = 172 = 289.

Cho điểm I(1,0,0) và đường thẳng (Δ):

*

. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt đường thẳng (Δ) tại 2 điểm A, B sao cho tam giác IAB đều.

Xem thêm: Con ếch tiếng Anh là gì – Nghĩa của từ con ếch trong tiếng Anh

– Đường thẳng (Δ) đi qua M(1;1;-2) và có VTCP

– Chúng ta có

*

*

– Xét tam giác IAB có IH = Rsin(600) nên:

⇒ Mặt cầu có phương trình là: * Hy vọng chia sẻ với hệ thống một lần nữa