Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình là dạng toán không khó để học sinh kiếm điểm. Đây là câu hỏi thường xuất hiện sau phần khảo sát hình họa nên các em phải làm thật cẩn thận để tránh bị mất điểm.

Bạn đang xem: Biện luận theo m nghiệm của phương trình bậc hai

Trong bài này chúng ta ôn lại cách dựa vào đồ thị của hàm số biện luận theo m số nghiệm của phương trình. Vậy hãy làm một số bài tập để luyện tập dạng toán này nhé các em.

Đừng bỏ lỡ: Giải phương trình mũ, logarit bằng phương pháp hàm số cực hay

Bài toán thường có dạng:

i) Khảo sát, vẽ đồ thị (C) của hàm số y = f(x)

ii) Dựa vào đồ thị (C) suy ra theo m số nghiệm của phương trình g(x;m)=0.

– Ở đây chúng ta tập trung vào nội dung chính, đó là biện luận theo m số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị của hàm số (bài cho là đồ thị, hoặc ta đo và vẽ đồ thị của (C)).

* Phương pháp giải

– Bước 1: Biến đổi phương trình g(x;m) = 0 thành dạng:

f(x) = m; f(x) = h(m); f(x)= kx+m; f(x)=m(xa)+b.

Trong đó k, a, b là các hằng số và h(m) là một hàm của tham số m.

– Bước 2: Khi đó vế trái là hàm số f(x) có đồ thị (C) đã biết. Phía bên phải có thể là:

• y = m là đường thẳng luôn vuông góc với trục Oy

• y = h(m) cũng là đường thẳng vuông góc với Oy.

• y = kx + m là đường thẳng song song với đường thẳng y = kx và cắt trục Oy tại điểm M(0; m).

• y = m(x – a) + b là đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định I(a; b) và có hệ số góc m. Do đó đường thẳng quay quanh điểm I.

– Bước 3: Dựa vào đồ thị (C) và ta sẽ biện luận theo m số nghiệm của phương trình (giao điểm của đường thẳng và (C)).

* Một số bài tập minh họa biện luận theo m số nghiệm phương trình dựa vào đồ thị

* Ví dụ 1: Cho hàm số y = x3 + 3×2 – 2

a) Vẽ đồ thị của hàm số trên

b) Dùng đồ thị và suy luận theo m số nghiệm của phương trình x3 + 3×2 – 2 – m = 0 .

° Giải pháp:

a) Bạn có thể tự làm, các bước tóm tắt như sau:

y” = 3×2 + 6x = 0 x = 0 hoặc x = -2

y”” = 6x + 6 = 0 x = -1

– Đồ thị có điểm cực đại là (-2,2), điểm cực tiểu là (0;-2) và điểm uốn là (-1,0).

Biểu diễn đồ thị sẽ trông như thế này:

b) Ta có: x3 + 3×2 – 2 – m = 0 ⇔ x3 + 3×2 – 2 = m (dạng f(x) = m).

• f(x) = x3 + 3×2 – 2 là đồ thị hàm số trên, số nghiệm của

là số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y = m.

– Vậy từ đồ thị của hàm số suy ra được số nghiệm của phương trình

như sau:

– Với m > 2 phép so sánh

có 1 giải pháp – Với m = 2 phương trình có 2 nghiệm (1 đơn, 1 kép)

– Với -2 2 phép so sánh

có 1 giải pháp (duy nhất)

– Với m = -2 hoặc m = 2 phương trình

có 2 nghiệm (1 nghiệm đơn, 1 nghiệm kép)

– Với -2

* Ví dụ 2 (Bài 9 trang 46 SGK Giải tích 12):

a) Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số:

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tọa độ là nghiệm của phương trình f”(x) = 0.

c) Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình: x4 – 6×2 + 3 = m.

° Giải pháp:

¤ Chi phí: Đ = RẺ

+ Hướng biến đổi:

f”(x) = 2×3 – 6x = 2x(x2 – 3)

+ Giới hạn đến vô cùng:

*

+ Bảng biến thiên:

*

Đồ thị của hàm trông như thế này:

*

b) Ta có: f”(x) = 6×2 – 6 = 6(x2 – 1)

f”(x) = 0 6(x2 – 1) x = ±1 ⇒ y = -1

– Phương trình tiếp tuyến của (C) tại (-1; -1) là: y = f”(-1)(x + 1) – 1 y = 4x + 3

– Phương trình tiếp tuyến của (C) tại (1; -1) là: y = f”(1)(x – 1) – 1 ⇒ y = -4x + 3

c) Ta có:

*

bằng số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng (d) y = m/2.

• Từ đồ thị (C) trên, ta thấy:

– Với m/2 3/2 ⇔ m > 3: Đường thẳng (d) cắt (C) tại hai điểm ⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt.

* Kết luận:

– Với m3 thì PT có 2 nghiệm.

– Với – 6 * Ví dụ 3: Cho hàm số:

*

b) Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình: 2×2 – (5 + m)x + 4 + m = 0

.

° Giải pháp: a) Hãy khảo sát và vẽ đồ thị của (C) do bạn tự làm, ta có đồ thị sau:

*

b) Ta có: 2×2 – (5 + m)x + 4 + m = 0

*

(**)

• Ta thấy (**) là phương trình tọa độ giao điểm của (C) với đường thẳng y = m song song với trục Os. Từ đồ thị ta có:

(Xin lưu ý:

*

– Với

*

b) Viết PT tiếp tuyến với (C) và song song với (d): y = -2x.

b) Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình: 2×2 – (m+1)x + m + 1 = 0.

° Giải pháp:

a) Hãy khảo sát và vẽ đồ thị của (C) do bạn tự làm, ta có đồ thị sau:

*

Nhưng

Vậy có 2 tiếp tuyến:

Tiếp tuyến (T1) đi qua điểm (0;-1) có hệ số góc -2 là: y = -2x – 1.

Tiếp tuyến (T2) đi qua điểm (2,3) có hệ số góc -2 là: y = -2x + 7.

c) Ta có: *

*

*

• Chúng tôi thấy

– Với -1 7: PT

Cho hàm sau (C):

*

b) Tìm a để phương trình: có nghiệm.

c) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

*

° Giải pháp:

a) Trẻ xem xét các chi tiết và vẽ đồ thị

*

⇒ Vốn chủ sở hữu: x = 1; TCX: y = x.

– Biểu đồ có dạng như sau:

* b) Kinh nghiem PT:

là tọa độ giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng (d): y = ax – a + 1.

– Ta thấy, pt (d) luôn đi qua điểm cố định I(1;1) nên pt

Nếu có nghiệm thì (d) phải nằm trong góc nhọn tạo bởi 2 tiệm cận đứng x = 1 (hệ số góc k = +∞) và tiệm cận xiên y = x (hệ số góc k = 1).

Để pt

Nếu có nghiệm thì: 1 2m (m>0) là tọa độ giao điểm của đường thẳng y = log2m và đồ thị (C”).

– Nếu log2m 2m = -2 m = 1/4 thì pt có 1 nghiệm

– Nếu -2 2m 2m = 1 + 2√2

*

– Nếu log2m > 1 + 2√2

thì pt có 4 nghiệm

* Ví dụ 6:

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C).

b) Tìm m sao cho 4|x|3 – 3|x| – mx + m – 1 = 0 có 4 nghiệm phân biệt.

a) Bạn tự làm chi tiết:

f”(x) = 12×2 – 3 = 0 x = 1/2 hoặc x = -1/2

f””(x) = 24x = 0 ⇔ x = 0.

⇒ Cực đại (-1/2;0), cực tiểu (1/2;-2) và điểm uốn (0;-1).

– Đồ thị có dạng như sau: *