Giá Trị Cực Đại Là X Hay Y, Giá Trị Cực Tiểu Là X Hay Y

Sau khi làm quen với các dạng bài toán xét tính đơn điệu của hàm số, bước tiếp theo các em cần nắm vững dạng bài tập về cực trị của hàm số, đây là dạng toán thường xuất hiện trong các đề thi THPT.

Bạn kiểm tra: Là giá trị lớn nhất x hay y

Vậy các dạng bài tập về cực trị của hàm số thường gặp là gì? Cách tìm cực đại, cực tiểu của hàm số? Hãy cùng tìm hiểu qua bài viết này. Trước khi đi vào nội dung chính, chúng ta cần tóm tắt một số kiến thức cơ bản về cực trị của hàm số.

Đừng bỏ lỡ: Các dạng toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số cực hay

I. Kiến thức về cực trị hàm số cần nhớ

1. Định nghĩa cực trị của hàm số:

– Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a;b) (a là −∞, b là +∞) và điểm x0 ∈ (a;b).

a) Nếu tồn tại số h>0 sao cho f(x)0) với mọi x ∈ (x0 – h; x0 + h) và x ≠ x0 thì ta nói hàm số f(x) đi qua tối đa trên x0.

b) Nếu tồn tại số h>0 sao cho f(x)>f(x0) với mọi x ∈ (x0 – h; x0 + h) và x ≠ x0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu trên x0.

* Chú ý:

• Nếu hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì:

được gọi là x0 điểm tối đa (điểm tối thiểu) của chức năng.

f(x0) gọi là giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của hàm số, ký hiệu: fCD(fCT)

M(x0;f(x0)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị.

• Các điểm cực đại, cực tiểu gọi chung là các điểm cực trị

Giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) còn được gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là giá trị cực trị của hàm số.

• Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b) và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x0 thì f”(x0) = 0.

2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

• Khi f”(x) đổi dấu tích cực đến tiêu cực theo x = c thì x = c gọi là điểm cực đại của hàm số.

Tham Khảo Thêm: Dịch Vụ Mobifilm Mobifone Xem Phim Trên Điện Thoại Miễn Phí 3G Mobifone

• Khi f”(x) đổi dấu tiêu cực đến tích cực theo x = c thì x = c gọi là điểm cực tiểu của hàm số.

3. Cách tìm cực trị (Quy tắc tìm cực trị) của hàm số

* Quy tắc tìm cực trị 1:

– Bước 1: Tìm tập xác định

– Bước 2: Tính f”(x) Tìm các điểm tại đó f”(x) = 0 hoặc f”(x) không xác định.

– Bước 3: Tạo bảng biến thiên

– Bước 4: Lấy cực trị từ bảng biến thiên

* Quy tắc tìm cực trị 2:

– Bước 1: Tìm tập xác định

– Bước 2: Tính f”(x) Giải phương trình f”(x) = 0 tìm nghiệm xi (i=1,2,…)

– Bước 3: Tính f””(x) và tính các giá trị của f””(xi)

– Bước 4: Dựa vào dấu của f””(xi) suy ra tính chất cực trị tại xi.

II. Các dạng bài tập về cực trị (cực đại, cực tiểu) của hàm số.

° Dạng 1: Xác định điểm cực trị, tìm điểm cực trị của hàm số

* Ví dụ 1 (Bài 1 trang 18 SGK Giải tích 12): Áp dụng Quy tắc 1, tìm cực trị của các hàm số sau:

a) y = 2×3 + 3×2 – 36x – 10

b) y = x4 + 2×2 – 3

d) y = x3(1 – x)2

* Câu trả lời:

a) y = 2×3 + 3×2 – 36x – 10

– Chi phí sinh hoạt: Đ = RẺ

– Ta có y” = 6×2 + 6x – 36

– Cho y” = 0 6×2 + 6x – 36 = 0 x = -3 hoặc x = 2

– Bảng biến thiên:

– Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại x = -3 ; yCD = 71; và cực tiểu tại x = 2; yCT = -54.

b) y = x4 + 2×2 – 3

– Chi phí sinh hoạt: Đ = RẺ

– Ta có: y”= 4×3 + 4x = 4x(x2 + 1);

– Cho y” = 0 4x(x2 + 1) = 0 x = 0

– Bảng biến thiên:

– Kết luận: Hàm số do đó đạt cực tiểu tại x = 0; yCT = -3; Hàm số không có điểm cực đại.

– TXĐ: D = R{0}

– Chúng ta có:

– Bảng biến thiên:

– Kết luận: Hàm số do đó đạt cực đại tại x = -1; yCD = -2; và cực tiểu tại x = 1; yCT=2.

d) y = x3(1 – x)2

– Chi phí sinh hoạt: Đ = RẺ

– Ta có: y”= (x3)’.(1 – x)2 + x3.’

= 3×2(1 – x)2 + x3,2(1 – x)(1 – x)’

= 3×2(1 – x)2 – 2×3(1 – x)

Tham Khảo Thêm: Ứng Dụng Của Hiện Tượng Phản Xạ Toàn Phần, Ứng Dụng Phản Xạ Toàn Phần

= x2(1 – x)(3 – 5x)

– Cho y” = 0 x2(1 – x)(3 – 5x) = 0 x = 0; x = 1 hoặc x = 3/5

– Bảng biến thiên:

– Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại

và cực tiểu tại x = 1; yCT=0.

* Xin lưu ý: x = 0 không phải là một cực trị vì tại điểm đó đạo hàm bằng 0 nhưng đạo hàm không đổi dấu khi đi qua x = 0.

– TXĐ: D=R

– Chúng ta có:

– Bảng biến thiên:

– Kết luận: Hàm số có cực tiểu tại

* Ví dụ 2 (Bài 2 trang 18 SGK Giải tích 12): Áp dụng Quy tắc 2, tìm cực trị của các hàm số sau:

a) y = x4 – 2×2 + 1

b) y = sin2x – x

c) y = sinx + cosx

d) y = x5 – x3 – 2x + 1

* Câu trả lời:

a) y = x4 – 2×2 + 1

– TXĐ: Đ=R.

– Ta có: y” = 4×3 – 4x = 0 ⇔ 4x(x2 – 1) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = ±1.

– Ta có: y” = 12×2 – 4. Tính y”” tại các điểm x = 0 và x = ±1.

y”(0) = -4 Đại học = 1

y”(1) = 8 > 0 x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số, yCT = 0

y”(-1) = 8 > 0 x = -1 là điểm cực tiểu của hàm số, yCT = 0

b) y = sin2x – x

– Chi phí sinh hoạt: Đ = RẺ

– Ta có: y” = 2cos2x–1 = 0

– Ta có: y”” = -4sin2x. Tính toán y”” tại

là các điểm cực tiểu của hàm số

c) y = sinx + cosx

– TXĐ: D=R

– Ta có: y” = cosx – sinx = 0

– Chúng ta có:

– Kết luận: Do đó hàm số đạt cực đại tại điểm

và cực tiểu tại điểm

d) y = x5 – x3 – 2x + 1

– Chi phí sinh hoạt: Đ = RẺ

– Ta có: y”= 5×4 – 3×2 – 2 = 0

(x2 – 1)(5×2 + 2) = 0

x2 – 1 = 0 x = 1 hoặc x = -1

– Ta có: y” = 20×3 – 6x

y”(-1) = -20 + 6 = -14 0

⇒ x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số.

* Ghi chú: Theo kinh nghiệm thì đối với hàm số vô tỷ thông thường bạn nên áp dụng quy tắc 1, còn đối với hàm số

° Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị (Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu).

* Ví dụ 1 (Bài 4 trang 18 SGK Giải tích 12): Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m thì hàm số

y = x3 – mx2 – 2x + 1; luôn có cực đại và cực tiểu.

Tham Khảo Thêm: Chaất Khử, Chất Oxi Hóa Trong Phản Ứng Hóa Học Hay, Chi Tiết

° Giải pháp:

– Chi phí sinh hoạt: Đ = RẺ

– Ta có: y” = 3×2 – 2mx – 2 = 0

– Ta có: y” = 6x – 2m.

là điểm cực tiểu của hàm số

– Kết luận: Hàm số do đó luôn có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu với mọi giá trị của m.

* Ví dụ 2 (Bài 6 trang 18 SGK Giải tích 12): Xác định giá trị của tham số m để hàm số m đạt giá trị lớn nhất tại x = 2.

* Câu trả lời:

a) TXĐ: D=R{-m}

* Cách 1 (áp dụng quy tắc 1):

Ta có bảng biến thiên sau:

– Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = -m – 1 nhưng theo bài ra hàm số đạt cực đại tại x = 2 nên ta có: -m – 1 = 2 ⇔ m = – 3 ⇒ yCT = 1

* Cách 2 (áp dụng quy tắc 2):

– Tính y””, có: