Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức là một dạng bài toán mà nhiều bạn cảm thấy khó khăn.

Bạn đang xem: Giá trị lớn nhất của biểu thức

Bài viết dưới đây sẽ hướng dẫn ngắn gọn, dễ hiểu tất cả các cách giúp bạn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức Toán 9.

Cùng học nhé!

Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức

Cho biểu thức f(x),

a) Nếu với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định của f(x) thì

trong đó m là hằng số và tồn tại x = a sao cho f(a) = m

thì ta nói m là giá trị (GTLN) lớn nhất.

Dấu hiệu: f tối đa = m.

b) Nếu với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định của f(x) thì

trong đó n là hằng số và tồn tại x = a sao cho f(a) = n

thì ta nói m là giá trị (GTNN) nhỏ nhất.

Dấu hiệu: tối thiểu f = n.

Vì thế, cách tìm giá trị lớn nhất (GTLN). là để chỉ ra:

f(x) ≤ m và ghi rõ dấu “=” khi và chỉ khi, chẳng hạn tại x = a.

Cách tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN). là để chứng minh:

f(x) ≥ n và ghi rõ dấu “=” khi và chỉ khi, ví dụ, khi x = a.

Rồi kết luận: Max f = m khi và chỉ khi x = a.

Hay Min f = n khi và chỉ khi x = a.

Vậy căn cứ vào đâu để chứng minh và tìm hằng số m, n trên?

1) Tìm các hằng số m, n dựa vào bình phương một số, bình phương một tổng

A² ≥ 0, dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A = 0.

A² + m ≥ m, dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A = 0.

− A² + m ≤ m, dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A = 0.

2) Tìm các hằng số m, n dựa vào bất đẳng thức Cauchy (Cossi):

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b.

Với a, b > 0, nếu tích ab = k (k là số dương), thì Min(a+b) = 2√k khi và chỉ khi a = b. Với a, b > 0, nếu tổng a + b = k (k là số dương), thì Max(ab) = k²/4 khi và chỉ khi a = b.

Chú ý.

Nếu A > 0 thì

A là lớn nhất khi và chỉ khi 1/A là nhỏ nhất.

A nhỏ nhất khi và chỉ khi 1/A lớn nhất.

Ví dụ tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = 5x² − 20x + 30

Giá:

Ta thấy rằng có thể rút gọn biểu thức P thành bình phương của một hiệu rồi sử dụng tính chất A² ≥ 0.

Ta cần chia 5 sao cho hệ số x² trước đó bằng 1 và tạo bình phương một hiệu.

Chúng ta có:

P = 5(x² − 4x + 6)

= 5(x² − 4x + 4 + 2)

= 5(x − 2)² + 5,2

= 5(x − 2)² + 10 ≥ 10.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 2.

Vậy Min P = 10 khi và chỉ khi x = 2.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

A = −3x² − 6x + 2

Giá:

A = −3(x² + 2x − 2/3)

= −3(x² + 2x + 1 − 1 −2/3)

= −3

= −3(x + 1)² + 5

(x + 1)² 0 ⇒ −3(x + 1)² 0 −3(x + 1)² + 5 5

⇒ A ≤ 5 nên Max A = 5 khi và chỉ khi x + 1 = 0 suy ra khi x = -1.

Vậy Max A = 5 khi và chỉ khi x = -1.

Xem thêm: Bảng đơn vị khối lượng – bảng khối lượng dễ nhớ đầy đủ nhất

Tìm GTNN của biểu thức

Giá:

Vì biểu thức có căn bậc hai là x nên ta phải đặt điều kiện xác định là biểu thức dưới căn phải lớn hơn hoặc bằng 0.