Phương trình bậc hai một ẩn có nội dung không mới, cách giải phương trình bậc hai và một số dạng toán cũng đã được giới thiệu đến các em ở các lớp trước.

Bạn đang xem: Giải phương trình bậc hai lớp 10

Trong bài này chúng ta sẽ hệ thống hóa một số dạng bài tập và cách giải phương trình bậc hai như: Giải phương trình bậc hai và suy luận (Giải phương trình bậc hai chứa tham số m); Xác định tham số m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước; Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai; Phương trình rút gọn về phương trình bậc hai; Giải hệ phương trình bậc hai hai ẩn.

I. Lý thuyết Phương trình bậc hai (tóm tắt)

1. Giải và lập luận phương trình bậc hai

• Phương trình bậc hai một ẩn: ax2 + bx + c = 0 (a≠0)

= b2 – 4ac

*

2. Tuyên bố của Việt

• Nếu như

Và

*

– Nếu a + b + c = 0

– Nếu a – b + c = 0

*

• Nếu hai số x, y có S = x + y và P = xy thì x, y là nghiệm của phương trình bậc hai 2: t2 – St + P = 0.

II. Các dạng bài tập phương trình bậc hai Một ẩn ° Dạng 1: Giải và suy luận về m phương trình bậc hai (PT bậc 2 tham số)

* Phương pháp: Phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0. ♦

Giải pháp:

Xét các trường hợp đặc biệt:

a + b + c = 0

a – b + c = 0

◊ b = 2b” (hệ số chẵn b) ◊ Phương trình dạng x2 – Sx + P = 0 (giải nhẩm)

♦

Lý lẽ:

◊ Xét trường hợp a = 0. ◊ Khi a ≠ 0, xét dấu của ac và tính Δ = b2 – 4ac.

* Ví dụ 1:

Một)

b)

c)

*

a) Vì a + b + c =

Do đó ta thấy phương trình đã cho có 2 nghiệm là:

b) Ta có:

;

⇒ Phương trình đã cho có 2 nghiệm

*

c) Xét trường hợp m = 1: Phương trình đã cho có nghiệm x = -1;

*

* Ví dụ 2: Giải thích các phương trình sau:

Một)

(m+1)x2 + (3m+1)x + 2(m-1) = 0.

b) ° Giải pháp ví dụ 2:

Một)

(m+1)x2 + (3m+1)x + 2(m-1) = 0.

• Trường hợp m = -1: Phương trình

• Trường hợp m ≠ -1: = m2 + 6m + 9 = (m+3)2

◊ m = – 3 thì Δ = 0: Phương trình có nghiệm kép:

*

⇔ mx2 – 3x + 2m = 0

• Trường hợp m ≠ 0: = 9 – 8m2

Δ = 0

*

*

Với

(nhận được)

*

> 0

: PT có nghiệm kép

*

*

*

m = 1: PT có nghiệp đơn giản x = 2

*

(Đầu tiên)

*

*

*

*

⇔ m2 + 2m + 1 = 4(3m-5) ⇔ m2 – 10m + 21 = 0

⇔ m = 3 hoặc m = 7

◊ TH1: m = 3, PT

trở thành 3×2–8x + 4 = 0 có hai nghiệm x1 = 2/3 và x2 = 2 thỏa mãn điều kiện.

TH2: m = 7, PT

trở thành 3×2 – 16x + 16 = 0 có hai nghiệm x1 = 4/3 và x2 = 4 thỏa mãn điều kiện.

– Kết luận: m = 3 thì pt có hai nghiệm là 2/3 và 2; m = 7 thì pt có hai nghiệm 4/3 và 4 .

* Ví dụ 2:

° Giải pháp ví dụ 2:

Để phương trình có nghiệm kép thì: a = m+1 0 và ” = 4m2(m+1)2 + m(m+1)=0

⇔ m≠-1 và m(m+1)(2m+1)2 = 0

Giải PT: m(m+1)(2m+1)2 = 0 ta được m = 0; m = -1; m = -1/2;

So sánh điều kiện ta loại được nghiệm m = -1; được 2 nghiệm m = 0 và m = -1/2;

– Với m = 0 ta có nghiệm kép là:

– Với m = -1 ta có nghiệm kép là x = -1.

Cho phương trình: x2 – 2x + m = 0

Xác định m để PT trên có hai nghiệm khác nhau, nghiệm này bằng bình phương nghiệm kia.

° Giải pháp ví dụ 2:

– Để PT có hai nghiệm khác nhau thì:

Δ” = 1-m>0 ⇔ m 1, x2 là nghiệm của PT không mất tính tổng quát khi giả sử

*

– Những gì Việt nói chúng tôi có: *

*

(**)

– Giải PT này (**) ta được 2 nghiệm x2 = 1 và x2 = -2

ta được m = 1 (loại, do không thỏa mãn điều kiện m2 = -2 trong PT ta được m = -8 (được)

– Kết luận: m = -8 thì PT x2 – 2x + m = 0 có 2 nghiệm phân biệt nghiệm này với nghiệm kia bằng bình phương.

° Dạng 3: Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai

* Phương pháp:

• x1 2P

• x1 x2

• x1 x2 > 0 *

* Ví dụ:

Cho phương trình: (m2+1)x2 + 2(m2-1)x – (m2-1) = 0. Tìm m để phương trình có cả 2 nghiệm dương.

° Giải pháp

– Bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi:

*

*

7) Phương trình không dấu giá trị tuyệt đối

8) Phương trình chứa ẩn trong dấu căn

* Ví dụ:

Giải phương trình sau:

a) (x – 1)(x + 5)(x2 + 4x + 8) + 40 = 0

b) x4 – 3×2 + 4×2 – 3x + 1 = 0 (**)

° Giải pháp:

a) (x – 1)(x + 5)(x2 + 4x + 8) + 40 = 0

x2 + 4x + 8 = x2 + 4x – 5 + 13 = t + 13

– Vì thế

t(t + 13) + 40 = 0

⇔ t = -5 hoặc t = -8;

• Với t = -5 x2 + 4x – 5 = -5

⇔ x2 + 4x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = -4.

• Với t = -8 x2 + 4x – 5 = -8

⇔ x2 + 4x +3 = 0 ⇔ x = -1 hoặc x = -3. – Tập nghiệm của phương trình là: S = {-4; -3; -Đầu tiên; 0}.

b) x4 – 3×2 + 4×2 – 3x + 1 = 0 (**)

(**)

*

Đặt , |t|≥2 ta được: t2 – 3t + 2 = 0

– Giải PT theo t (nghiệm chính a + b + c = 0) ta được: t = 1 (loại, vì điều kiện |t|≥2) và t = 2 (nhận).

*

* Phương pháp:

• Hệ gồm phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai: Lấy pt bậc nhất trừ 1 ẩn số, thay vào pt bậc 2 chứa ẩn số p chứa 1 ẩn số.

• Hệ đối xứng (là hệ mà khi đổi vai giữa x và y ta thấy các pt không đổi): Đặt hai ẩn số S = x + y và P = xy Tính S, P suy ra x và y.

* Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau:

*

° Giải ví dụ 1:

*

*

– Với y = 1 ta được x = 4;

– Kết luận: Do đó hệ có 2 cặp nghiệm là (4;1) và (-17/4; -7/4).

* Ví dụ 2:

*

° Giải pháp ví dụ 2:

*

• Từ P + S = 5 ⇒ P = 5 – S; Thay P vào PS = 6 ta được:

(5 – S)S = 6 5S – S2 = 6 S2 – 5S + 6 = 0 ⇔ S = 2 hoặc S = 3– Với S = 2 ⇒ P = 3 thì x, y là nghiệm của phương trình:

t2 – 2t + 3 = 0; Chúng ta có

*

• Cả hai nghiệm của f(x,m) đều không thuộc (α; β), tức là:

*

+ Với

sau đó

có nghiệm x = 2

+ Với

*