Ở bài trước các em đã tìm hiểu về giới hạn của hàm số, thế nào là giới hạn hữu hạn, giới hạn một phía và giới hạn ở vô cực. Tiếp theo, trong bài học này chúng ta sẽ tìm hiểu về hàm liên tục.

Bạn đang xem: Hàm số Liên tục tại 1 điểm

Bài viết dưới đây sẽ giúp chúng ta biết cách xét tính liên tục của hàm số, vận dụng vào giải các bài tập về hàm số liên tục như: Xét tính liên tục của hàm số tại 1 điểm (x=0), trên 1 đoạn hoặc 1 khoảng , tìm các điểm gián đoạn của hàm số hoặc chứng minh rằng phương trình f(x)=0 có nghiệm.

I. Lý thuyết hàm số liên tục (tóm tắt)

1. Hàm số liên tục tại 1 điểm

– Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x0 ∈ (a;b). Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại x0 nếu:

– Nếu hàm số f(x0) không liên tục tại điểm x0 thì x0 được gọi là điểm gián đoạn của hàm số f(x).

2. Hàm số liên tục trên một khoảng

– Định nghĩa: Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng.

– Hàm số y = f(x) gọi là liên tục tại giao điểm nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) và:

3. Một số phát biểu cơ bản về hàm số liên tục

• Tuyên bố 1:

a) Hàm đa thức liên tục trên toàn bộ số thực R.

b) Các hàm phân số hữu tỉ (thương của 2 đa thức) và các hàm lượng giác liên tục trên mỗi khoảng thuộc tập xác định của chúng.

• Tuyên bố 2:

– Giả sử f(x) và g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x0. Sau đó:

a) Hàm số f(x) + g(x); f(x) – g(x) và f(x).g(x) liên tục tại x0.

b) chức năng

liên tục tại x0 nếu g(x0) 0.

• Tuyên bố 3:

– Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn và f(a)f(b) II. Các dạng bài tập về hàm số liên tục

° Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x0.

* Phương pháp:

– Bước 1: Tính f(x0)

– Bước 2: Tính toán hoặc

– Bước 3: So sánh: hoặc với

rồi rút ra kết luận

– Nếu như

hoặc

thì kết luận hàm số liên tục tại

– Nếu không có hoặc không thì kết luận hàm số không liên tục tại x0.

– Bước 4: Kết luận.

* Ví dụ 1 (Bài 1 trang 140 SGK Đại số 11): Sử dụng định nghĩa để xét tính liên tục của hàm số f(x)=x3 + 2x – 1 tại x0=3.

° Lời giải ví dụ 1 (Bài 1 trang 140 SGK Đại số 11):

– Ta có: f(x) = x3 + 2x – 1

⇒ f(3) = 33 + 2,3 – 1 = 32

⇒ f(x) liên tục tại x0 = 3.

* Ví dụ 2 (Bài 2 trang 140 SGK Đại số 11): a) Xét tính liên tục của hàm số y = g(x) tại x0 = 2, biết:

b) Trong biểu thức g(x) trên cần thay số 5 bằng một số khác để hàm số liên tục tại x0 = 2.

° Lời giải ví dụ 2 (Bài 2 trang 140 SGK Đại số 11):

– Ta có: g(2) = 5.

⇒ g(x) không liên tục tại x0 = 2.

b) Để g(x) liên tục tại x0 = 2 thì:

– Vậy chỉ cần thay 5 bằng 12 thì hàm số liên tục tại x0 = 2.

* Ví dụ 3: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x = 1.

° Giải ví dụ 3:

– Ta có: f(1) = 1

⇒ Hàm số f(x) do đó không liên tục (không liên tục) tại điểm x = 1.

* Ví dụ 4: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x = 0.

° Giải ví dụ 4:

– Ta có: f(0) = 02 – 2.0 + 2 = 2.

⇒ Hàm f(x) liên tục tại điểm x = 0.

° Dạng 2: Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng, một đoạn.

* Phương pháp:

– Áp dụng định lý 1, định lý 2 để xét tính liên tục của hàm số trên từng khoảng xác định của nó.

– Nếu hàm số xác định bởi 2 hoặc 3 căn thức thì thông thường ta xét tính liên tục tại các điểm đặc biệt của hàm số đó.

* Ví dụ 1: Đưa ra chức năng

⇒ Hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 2.

Xem thêm: Chỉ số Octane là gì? Phụ gia trị số octan Trị số octan là gì?

– Kết luận: Hàm số f(x) liên tục trên khoảng (-7;+∞).

* Ví dụ 2: Tìm a, b để hàm số sau liên tục:

⇒ Để hàm số liên tục tại điểm x = 3 thì:

• Khi x = 5 thì f(5) = 5a + b

*

*

*

*

(**)

và chúng ta có:

*

– Hàm số g(x) liên tục trên các khoảng:

* ° Dạng 3: Tìm điểm gián đoạn của hàm số f(x)