Định lý: Trong một tam giác bất kỳ, bình phương của một cạnh bằng tổng bình phương của hai cạnh kia trừ đi hai lần tích hai cạnh đó nhân \(cosin\) của góc xen giữa.
Bạn đang xem: Lượng giác trong tam giác vuông
Chúng tôi có các hệ thống sau:
$$\eqalign{ & {a^2} = {b^2} + {c^2} – 2bc.\cos A \, \, (1) \cr & {b^2} = {a^2} + {c^2} – 2ac.\cos B \, \, (2) \cr & {c^2} = {a^2} + {b^2} – 2ab.\cos C \, \, ( 3) \cr} $$
Hệ quả của định lý cosin:
\(\cos A = \dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\)
\(\cos B = \dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}\)
\(\cos C = \dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}\)
Áp dụng: Tính độ dài đường trung tuyến của tam giác:
Cho tam giác \(ABC\) có các cạnh \(BC = a, CA = b\) và \(AB = c\). Gọi \(m_a,m_b\) và \(m_c\) lần lượt là độ dài các trung tuyến vẽ từ các đỉnh \(A, B, C\) của tam giác. Chúng ta có
\({m_{a}}^{2}\) = \(\dfrac{2.(b^{2}+c^{2})-a^{2}}{4}\)
\({m_{b}}^{2}\) = \(\dfrac{2.(a^{2}+c^{2})-b^{2}}{4}\)
\({m_{c}}^{2}\) = \(\dfrac{2.(a^{2}+b^{2})-c^{2}}{4}\)
2. Định lý sin
Định lý: Trong mọi tam giác \(ABC\), tỉ số của một cạnh với sin của góc đối diện với cạnh đó bằng đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác, tức là
\(\dfrac{a}{\sin A}= \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R\)
trong đó \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
Công thức diện tích tam giác
Diện tích \(S\) của tam giác \(ABC\) được tính theo một trong các công thức sau
\(S = \dfrac{1}{2} ab \sin C= \dfrac{1}{2} bc \sin A \) \(= \dfrac{1}{2}ca \sin B \, \, (Đầu tiên)\)
\(S = \dfrac{abc}{4R}\, \,(2)\)
\(S = pr\, \,(3)\)
\(S = \sqrt{p(p – a)(p – b)(p – c)}\) (Công thức Heron) \((4)\)
Trong đó:\(BC = a, CA = b\) và \(AB = c\); \(R, r\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp, bk đường tròn và \(S\) là diện tích tam giác.
3. Giải tam giác và áp dụng vào đo lường
Giải tam giác: Giải tam giác là tìm các yếu tố (góc, cạnh) chưa biết của một tam giác khi biết một số yếu tố của tam giác đó.
Để giải một tam giác, ta cần tìm mối liên hệ giữa các góc, cạnh đã cho với các góc, cạnh chưa biết của tam giác đó bằng các hệ thức đã cho trong định lý cosin, định lý sin và các công thức tính diện tích tam giác sản phẩm .
Các bài toán về giải tam giác: Có 3 bài toán cơ bản về giải tam giác:
a) Giải tam giác khi biết một cạnh và hai góc.
=> Dùng định lí sin để tính cạnh còn lại.
b) Giải tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa
=> Sử dụng định lý cosin để tính cạnh thứ ba.
Sau đó sử dụng định lý cosin để tính góc.
Xem thêm: Toán Tiếng Anh Ngoại Thương – Nên học ngành Toán, Hóa nào?
c) Giải tam giác khi biết ba cạnh
Đối với vấn đề này, chúng tôi sử dụng định lý cosin để tính góc:
\(\cos A = \dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\)
\(\cos B = \dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}\)
\(cos C = \dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}\)
Chú ý:
1. Cần lưu ý, một tam giác là giải được nếu biết 3 yếu tố của nó, trong đó phải có ít nhất một thừa số độ dài (tức là thừa số góc không được vượt quá 2)
2. Giải tam giác được sử dụng trong các bài toán thực tế, đặc biệt là các bài toán đo.
