Phương trình tiếp tuyến có dạng: y = f'(x0). (x – x0) + y0

1. Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong tại điểm M(x0, y0) của đồ thị hàm số (tức là tiếp tuyến duy nhất nhận M(x0; y0) làm tiếp tuyến).

Phương trình tiếp tuyến của hàm số (C): y = f(x) tại điểm M(x0; y0) ∈ (C)

(hay tại hx = x0 ) có dạng: y =f'(x0).(x – x0) + y0.

2. Lập phương trình tiếp tuyến d với đường cong đi qua điểm A(xA, yA) cho trước, kể cả điểm thuộc đồ thị hàm số (tức là một tiếp tuyến bất kì đi qua A(xA, yA)).

Cho hàm số (C): y = f(x). Nếu tiếp điểm là M(x0, y0) thì phương trình tiếp tuyến có dạng: y = f'(x).(x – x0) + y0 (d).

Điểm A(xA, yA) ∈ d, ta được: yA = f'(x0). (xA – x0) + y0 => x0

Từ đó lập được phương trình tiếp tuyến d.

3. Lập phương của tiếp tuyến d với đường cong biết hệ số góc k

Cho hàm số (C): y = f(x). Nếu tiếp điểm là M(x0;y0) thì phương trình tiếp tuyến có dạng: d: y = f'(x0).(x – x0) + y0.

Tiếp tuyến lớn của tiếp tuyến d là nghiệm của phương trình:

f'(x0) = k => x0, thế vào hàm số ta được y0 = f(x0).

Ta lập được phương trình tiếp tuyến d: y = f'(x0). (x–x0) + y0.

Cách 2: Sử dụng điều kiện tiếp xúc

Phương trình đường thẳng đi qua điểm M(x0; y0) có hệ số góc k;

d:y = g'(x) = k.(x – x0) + y0.

Điều kiện để đường thẳng y = g(x) tiếp xúc với đồ thị của hàm số y = f(x) là hệ phương trình sau có nghiệm: \(\left\{\begin{matrix} f (x) =g( x) & \\ f”(x)=g”(x) & \end{matrix}\rights.\) Từ đó thu được phương trình của tiếp tuyến d.

II. Bài tập

Loại 1: Cho hàm y = f(x). Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M0(x0; y0) ∈ (C).

Giá

Phương trình tiếp tuyến tại M0 có dạng: y = k(x – x0) + y0

Trong đó x0 là tọa độ tiếp điểm;

Trong đó y0 = f(x0) là tọa độ tiếp điểm;

Trong đó k = y'(x0) = f'(x0) là hệ số góc của tiếp tuyến.

Để viết phương trình tiếp tuyến ta cần xác định x0; y0 và k.

MỘT SỐ DẠNG CƠ BẢN Hình thức 1:

Viết phương trình tiếp tuyến tại M0(x0;y0) ∈ (C)

-Tính đạo hàm của hàm số, thay x0 vào hệ số góc

Áp dụng ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.

Mẫu 2:

Cho tọa độ tiếp điểm x0

-Tính đạo hàm của hàm số thay x0 để được hệ số góc.

– Thay x0 vào hàm số ta tìm được tọa độ tiếp điểm. Áp dụng

ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.

Mẫu 3:

Cho tọa độ tiếp điểm y0

-Giải phương trình y0 = f(x0) để tìm x0. -Tính đạo hàm của hàm số thay x0 để được hệ số góc.

Áp dụng ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.

Chú ý:

Có bao nhiêu giá trị của x0 thì có bấy nhiêu tiếp tuyến.

Mẫu 4: Cho hệ số góc của tiếp tuyến k = y'(x0) = f'(x0)

-Tính đạo hàm và giải phương trình k = y'(x0) = f'(x0) để tìm x0

– Thay x0 vào hàm số, ta tìm được tọa độ tiếp điểm cần tìm.

Chú ý:

Có bao nhiêu giá trị của x0 thì có bấy nhiêu tiếp tuyến.

Ghi chú: Một số biểu mẫu khác

-Khi giả thiết yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng : y = ax + b thì

j'(x0). a = -1 y'(x0) = -1/a

… Quay lại dạng 4.

– Khi đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến, biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng

y = ax + b thì cái này ⇔ y'(x0) = a… Quay lại dạng 4.

*

*