Trong các lớp trước chúng ta đã biết (một cách đơn giản) hàm y = f(x) đồng biến nếu giá trị của x tăng, giá trị của f(x) hoặc y tăng; ngược lại nếu giá trị của x tăng nhưng giá trị của y = f(x) giảm.
Bạn đang xem: Hiệp phương sai của hàm số
Vậy quy tắc xét tính đơn điệu (hàm số luôn đồng biến, luôn nghịch biến trên khoảng K xác định) như thế nào? Nội dung bài viết dưới đây sẽ giải đáp thắc mắc này.
A. Lý thuyết về hàm số đồng biến và nghịch biến.
I. Tính đơn điệu của hàm số
1. Nhắc lại về hiệp phương sai, nghịch đảo
– Kí hiệu K là một khoảng, một đoạn hoặc nửa khoảng.
• Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K ⇔ ∀x1,x2 ∈ K, x1 2 thì f(x1) 2).
• Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K ⇔ ∀x1,x2 ∈ K, x1 2 thì f(x1) > f(x2).
2. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm
a) Điều kiện cần để hàm số đơn điệu
Cho hàm số f có đạo hàm trên K.
– Nếu f đồng biến trên K thì f”(x) ≥ 0 với mọi x ∈ K.
– Nếu f nghịch biến trên K thì f”(x) ≤ 0 với mọi x ∈ K.
b) Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu
Cho hàm số f có đạo hàm trên K.
– Nếu f”(x) > 0 với mọi x ∈ K thì f đồng biến trên K.
– Nếu f”(x) Chú ý: Định lý khai triển
– Nếu f”(x) ≥ 0 với mọi x ∈ K và f”(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì f đồng biến trên K.
– Nếu f”(x) ≤ 0 với mọi x ∈ K và f”(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì f nghịch biến trên K.
II. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số
1. Nội quy
i) Tìm tập xác định
ii) Tính đạo hàm f”(x) Tìm các điểm xi (i= 1 , 2 ,…, n) tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
iii) Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
iv) Nêu kết luận về chuỗi đồng biến và nghịch biến của hàm số.
2. Áp dụng
* Ví dụ: Xét tính đơn điệu của hàm số:
¤ Giải thích:
– Chi phí sinh hoạt: Đ = RẺ
– Chúng ta có:
– Bảng biến thiên:
→ Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; -1) và (2; +∞) nghịch biến trên các khoảng (-1; 2).
B. Bài tập về tính đơn điệu của hàm số
* Bài 1 trang 9 SGK Giải tích 12: Xét sự đồng biến và nghịch biến của hàm số:
a) y = 4 + 3x – x2
b) y=(1/3)x3 + 3×2 – 7x – 2
c) y = x4 – 2×2 + 3
d) y = -x3 + x2 – 5
¤ Giải thích:
a) y = 4 + 3x – x2
– Tập xác định: D = R
y” = 3 – 2x
y’ = 0 3 – 2x = 0 x = 3/2
– Tạo bảng biến thiên:
→ Suy ra hàm số đồng biến trong khoảng (-∞; 3/2) và nghịch biến trong khoảng (3/2; +∞) từ BBT.
b) y=(1/3)x3 + 3×2 – 7x – 2
– Tập xác định: D = R
y” = x2 + 6x – 7
y” = 0 x = -7 hoặc x = 1
– Lập bảng biến thiên.
→ Từ BBT suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞ ; -7) và (1 ; +∞); nghịch biến trong khoảng (-7;1).
c) y = x4 – 2×2 + 3
– Tập xác định: D = R
y”= 4×3 – 4x.
y” = 0 ⇔ 4×3 – 4x = 0 ⇔ 4x.(x – 1)(x + 1) = 0
⇔ x = 0 hoặc x = 1 hoặc x = -1
– Lập bảng biến thiên.
→ Suy ra hàm số nghịch biến của BBT trên các khoảng (-∞ ; -1) và (0 ; 1); đồng biến trong các khoảng (-1 ; 0) và (1; +∞).
d) y = -x3 + x2 – 5
– Tập xác định: D = R
y”= -3×2 + 2x
y” = 0 ⇔ -3×2 + 2x = 0 ⇔ x.(-3x + 2) = 0
⇔ x = 0 hoặc x = 2/3.
→ Suy ra hàm số BBT nghịch biến trên các khoảng (-∞; 0) và (2/3; +∞), đồng biến trên khoảng (0; 2/3).
Xem thêm: Giải Bài Tập Quy Tắc Đếm (Quy Tắc Cộng Nhân Nhân), Bài Tập Quy Tắc Đếm
* Bài 3 trang 10 SGK Giải tích 12: Chứng minh rằng hàm
dương trên khoảng (-1; 1), nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (1; +∞).
