Hoe sal die eienskappe en trigonometriese verhoudingstabelle van sommige spesiale hoeke jou help om probleme oor trigonometriese verhoudings op te los?

Jy sal self die vraag kan beantwoord nadat jy die volgende artikel gelees het.

Jy kyk na: Trigonometriese verhoudings in reghoekige driehoeke

Wiskunde Artikels 9

Kwantitatiewe stelsels in reghoekige driehoeke

Sommige verwantskappe vir sye en hoeke in reghoekige driehoeke

Trigonometriese verhouding van skerphoek
Definisie, eienskappe van trigonometriese verhoudings Eienskappe van trigonometriese verhoudings Handboekoefeninge oor Trigonometriese verhoudings van skerphoekeSintese van oefeninge oor trigonometriese verhoudingsVorm 1: Konstrueer ‘n skerphoek wanneer jy sy trigonometriese verhoudings kenVorm 2 : Bewys trigonometriese formulesVorm 3: Bereken trigonometriese syhoekverhoudings, , bereken hoekeVorm 4: Vergelyk en rangskik trigonometriese verhoudings Oefen trigonometriese verhoudings van skerphoeke

Definisie, eienskappe van trigonometriese verhoudings

In ‘n reghoekige driehoek, as die verhouding van die lengtes van die twee sye bekend is, kan die grootte van die skerphoeke bekend wees?

Wiskunde handboek 9 – volume 1

In ‘n reghoekige driehoek, as ons die verhouding van die lengtes van die twee sye ken, kan ons die grootte van die skerphoeke heeltemal vind.

Om dit te doen, moet ons weet Trigonometriese verhouding van skerphoek in ‘n reghoekige driehoek.

Definisie Trigonometriese verhouding van skerphoek

Vir skerp hoek α ( 0°

Hier is hoe om te onthou:

sinus Di H(teenoorgestelde/hipoteties)

cos kheup Heh (aangrensend/buitengewoon)

Tan Doan kte (oorkant/aangrensend) of tg

geen probleemnè? Ddoan (aangrensend/oorkant) of kotg

Byvoorbeeld:

Laat ABC ‘n reghoekige driehoek by A wees met hoek C = β. Skryf die trigonometriese verhoudings van die hoek neer β.

Gee opdrag:

Eerstens moet ons die figuur teken sodat dit maklik is om te sien waar die skuinssy, teenoorstaande en aangrensende sye is.

Nou sal ons die trigonometriese verhoudings van hoek C skryf:

Eienskappe van trigonometriese verhoudings

Die volgende is belangrike eienskappe van trigonometriese verhoudings wat ons moet onthou:

Trigonometriese verhouding van twee komplementêre hoeke:

Komplementêre hoeke is twee hoeke waarvan die som 90 grade is. Byvoorbeeld, hoek 30 en hoek 60 grade is twee komplementêre hoeke.

As twee hoeke komplementêr is, dan is die sinus van een hoek gelyk aan die cosinus van die ander hoek, en die raaklyn van hierdie hoek is die cos van die ander hoek.

Byvoorbeeld:

Trigonometriese waardes van spesiale hoeke

Wanneer ons die eerste keer leer, sal ons spesiale hoeke soos 0, 30, 45, 60, 90 grade teëkom. Om hierdie trigonometriese waardes te onthou, sal ons help om die toets vinniger te doen.

Die volgende is ‘n tabel van trigonometriese verhoudings vir spesiale hoeke:

Handboekoefening oor trigonometriese verhoudings van skerphoeke

Les 10. (Wiskunde Handboek 9 T76)

Teken ‘n reghoekige driehoek met ‘n skerp hoek van 34 grade en skryf dan die trigonometriese verhoudings van daardie hoek.

Oplossingsgids:

Kom ons teken eers ‘n regte hoek B. Aan die een kant van die regte hoek neem ons punt A.

Plaas dan die gradeliniaal op punt A en merk die hoek 34 grade.

Verbind A met die punt wat ons pas gemerk het, verleng en sny die oorblywende regte hoek by E.

Sodat ons die prentjie kan teken. Nou kan jy jou eie trigonometriese verhoudings vir hoek A = 34 grade skryf.

________________________________________________________________

Les 11. (Wiskunde Handboek 9 T76)

Laat ABC ‘n reghoekige driehoek by C wees, waar AC = 0.9m, BC = 1.2m. Bereken die trigonometriese verhoudings van hoek B, en lei daardeur die trigonometriese verhoudings van hoek A af.

Oplossingsgids:

Eerstens sal ons ‘n simbool van die afmetings vir die probleem teken.

Aangesien hoek A en hoek B aanvullende hoeke is, het ons die sinus van een hoek gelyk aan die cos van die ander hoek, en die raaklyn van een hoek aan die cos van die ander hoek:

________________________________________________________________

Les 12. (Wiskunde Handboek 9 T76)

Skryf die volgende trigonometriese verhoudings as trigonometriese verhoudings van hoeke minder as 45 grade:

sin 60º, cos 75°, sin 52°30′, wieg 82°, bruin 80º

Prys:

Ons pas die eienskap toe van die trigonometriese verhoudings wat hierbo geleer is: twee aanvullende hoeke waarvan die sinus van een hoek gelyk is aan die cosinus van die ander hoek, en tan van een hoek is gelyk aan die cosinus van die ander.

sonde 60º = cos 30º

cos 75º = sonde 15º

sin 52º30′ = cos 37º30′ (let wel: 1° = 60′)

bed 82º = bruin 8º

bruin 80º = bed 10º

Opsomming van oefeninge oor trigonometriese verhoudings

Vorm 1: Konstrueer ‘n skerp hoek wanneer sy trigonometriese verhouding bekend is

Oplossingsmetode:

Wil skerp hoeke bou α weet sy trigonometriese verhouding is a/bdoen ons die volgende:

Stap 1: Bepaal watter trigonometriese verhouding is die verhouding van die lengtes van watter sye?

Stap 2: Ons konstrueer ‘n reghoekige driehoek met reghoekige sye of skuinssy met lengtes wat ooreenstem met a en b.

Stap 3: Gebruik die definisie van trigonometriese verhoudings om die hoek te vind α .

Les 13. (Wiskunde Handboek 9 T77)

Konstrueer skerphoek α, weet:

a) sin α = 2/3

Aangesien sin α = skuinssy, moet ons die teenoorgestelde en skuinssye met ‘n verhouding van 2/3 teken.

Ons konstrueer ‘n reghoekige driehoek met reghoekige sy 2 cm lank, skuinssy 3 cm lank, hoek teenoor die regtehoeksy is hoek α.

b) cos α = 0.6

cos α = 0.6 = 3/5 = aangrensend/skuinssy, dus moet ons die aangrensende en skuinssye met ‘n verhouding van 3/5 teken

Ons konstrueer ‘n reghoekige driehoek met ‘n reghoekige sy 3 cm lank, skuinssy 5 cm lank, die hoek langs die regte hoek wat pas geteken is, is hoek α.

c) bruin α = 3/4

tan α = teenoorstaande/aangrensende, dus moet ons die teenoorgestelde en aangrensende sye met ‘n verhouding van 3/4 teken.

Ons konstrueer ‘n reghoekige driehoek met 1 reghoekige sy 3 cm, 1 reghoekige sy 4 cm, die hoek teenoor die regtehoeksy 3 cm lank is hoek α .

d) kot α = 3/2

bed α = aangrensend/oorkant, dus moet ons die aangrensende en teenoorgestelde sye met die verhouding 3/2 teken.

Ons konstrueer ‘n reghoekige driehoek met 1 reghoekige sy 3 cm, 1 reghoekige sy 2 cm, die hoek oorkant die reghoekige sy 2 cm lank is hoek α .

Vorm 2: Bewys van trigonometriese formules

Oplossingsmetode:

Om ‘n gelykheid te bewys wat trigonometriese verhoudings behels, moet ons die onderskeie sylengteverhoudings neerskryf en dan ‘n manier vind om hulle voor te stel om te kry wat ons moet bewys.

Les 14. (Wiskunde Handboek 9 T77)

Gebruik die definisie van trigonometriese verhoudings van ‘n skerphoek om te wys dat: Vir ‘n arbitrêre skerphoek α, ons het:

Oplossingsgids:

Net so bewys ons ook:

Gebaseer op bogenoemde bewys, kan ons die volgende punt bewys.

b)

In ‘n reghoekige driehoek ABC, reghoekig op A, volgens die Pythagoras-stelling, het ons AC² + AB² = BC² sodat ons sin² α + cos² α = 1 kan bewys.

Vorm 3: Bereken trigonometriese verhouding van skerphoek, bereken sy, bereken hoek

Oplossingsmetode:

Ons moet die definisie en eienskappe van die trigonometriese verhouding toepas wat pas geleer is om buigsaam toe te pas op die berekening van sye, hoeke en trigonometriese verhoudings gebaseer op die data van die probleem.

Les 15. (Wiskunde Handboek 9 T77)

Gegee driehoek ABC, reghoekig by A. Met die wete dat cos B = 0.8, bereken die trigonometriese verhoudings van hoek C.

Oplossingsgids:

Ons onthou dat hoek B en hoek C komplementêre hoeke is. Daarom sin C = cos B = 0.8.

Wat volgens les 14, sin² C + cos² C = 1

Daarom kos² = 1 – 0,8 ² = 0.36

cos C = 0.6

bruin C = sin C/cos C = 4/3

kot C = 1/bruin C = 3/4

__________________________________________

Les 16.

Gegee ‘n reghoekige driehoek met ‘n hoek van 60º en ‘n skuinssy van lengte 8. Vind die lengte van die sy oorkant die 60°-hoek.

Oplossingsgids:

________________________________

Les 17. (Wiskunde Handboek 9 T77)

Vind x in figuur 23.

Oplossingsgids:

Om x te bereken, moet ons die Pythagoras-stelling toepas op reghoekige driehoek ABC, x is die skuinssy. Maar ons moet die lengte van sy AC ken.

Uit die trigonometriese verhoudings van 45º-hoeke kan ons die lengte van die sy teenoor die 45º-hoek wat AC is, bereken.

Ons weet die lengte AD = 20 of die aangrensende sy van die 45º hoek, dus om AC te bereken is om die trigonometriese verhouding te gebruik

bruin 45º = AC/AD, wat die getalle wat ons het vervang:

1 = AC/20 dus AC = 20.

En ons maak staat op die Pythagoras-stelling om x² = BC² = AC² + AB² = 20² + 21² = 841 te bereken

Dus x = 29.

Vorm 4: Vergelyk en rangskik trigonometriese verhoudings

Oplossingsmetode:

Stap 1: Ons bring die trigonometriese verhoudings om met dieselfde kategorie vergelyk te word deur die aangeleerde eienskappe te gebruik.

Stap 2: Met twee skerphoeke a en b, het ons:

sonde ab

bruin ab

Les 22. (Wiskunde Handboek 9 T77)

Vergelyk:

Oplossingsgids:

a) Vi 20º cos 63º15′

c) Aangesien 73º20′ > 45º, smelt 73º20′ > smelt 45º

d) Omdat 2º bed 37º40′

_______________________________________

Les 24. (Wiskunde Handboek 9 T77)

Rangskik die volgende trigonometriese verhoudings in stygende volgorde:

Oplossingsgids:

a) Ons sal hulle almal omskakel na een soort trigonometriese verhouding: cos 14º = sin 76º ; cos 87º = sonde 3º

Aangesien a van 0º na 90º toeneem, neem sin a toe, dus het ons:

sonde 3º Les 25. (Wiskunde Handboek 9 T77)

Vergelyk:

Oplossingsgids:

a) tan 25 = sin 25º / cos 25 º en sin 25º > 0 ; kos 25 jen

So bruin 25º > sonde 25º

Die volgende sinne doen dieselfde as sin a.

__________________________________________

Les 23. (Wiskunde Handboek 9 T77)

Bereken:

Oefen trigonometriese verhoudings van skerphoeke

Gebruik die kennis wat jy oor die trigonometriese verhoudings van skerphoeke geleer het om die volgende oefeninge te doen:

Les 1.

Laat ABC ‘n reghoekige driehoek by A wees met AB = 1,6 cm, AC = 1,2 cm. Bereken die trigonometriese verhoudings van hoek B. Hieruit, lei die trigonometriese verhoudings van hoek C af.

Les 2.

Laat ABC ‘n reghoekige driehoek by A, hoogte AH wees. Bereken sin B en sin C en rond die resultaat af tot die vierde desimale plek in die volgende gevalle:

a) AB = 13 cm, BH = 0,5 dm;

b) BH = 3 cm, CH = 4 cm

Les 3.

Sonder om ‘n syferblok en ‘n sakrekenaar te gebruik, rangskik die volgende trigonometriese verhoudings in volgorde van die grootste na die kleinste:

a) smelt 12º, kot 61º, bruin 28º, kot 79º16′, bruin 58º

b) cos 67º , sin 56º , cos 63º45′ , sin 74º , cos 85º

Les 4.

Bou skerp hoek α bevredig:

soos in α= 3/7

b) cos α = 2/5

c) bruin α = 2

d) bedjie α = 4/5

Les 5.

Vir skerp hoek α. Vind sonde αbedjie αTan α weet cos α = 1/5.

Instruksies: Ons pas die formule toe: sin² α + cos² α = 1 om sonde te vind α. Van daar af vind tan α (sinus α /cos α ) en bed α (=1/bruin α).

Les 6.

Laat ABC ‘n reghoekige driehoek by A wees, hoek C = 30º, BC = 10 cm.

a) Bereken AB, AC

b) Trek reguitlyne AM en AN vanaf A loodreg op die binne- en uitwendige middellyne van hoek B. Bewys dat MN = AB.

c) Bewys dat driehoeke MAB en ABC soortgelyk is. Soortgelyke verhouding.

Les 7.

Laat ABC ‘n reghoekige driehoek by A wees. Weet AB = 30 cm, hoek B = αTan α = 5/12. Bereken die sye AB en AC.

Opsomming van kennis om te onthou

Ons het dus die kennis oor die afdeling Trigonometriese verhoudings van skerphoeke geleer.

Die sleutelpunt wat jy moet verstaan, is om trigonometriese verhoudings te definieer en dan die eienskappe (basiese formules) soos volg te onthou en toe te pas:

Definieer:

sinus = teenoorgestelde/buitengewoon

cos = aangrensing/passie

Tan oorkant/aangrensend

bedjie aangrensend/oorkant

Aard:

As ons sulke basiese kennis ken, kan ons dit op die oefeninge toepas en voortgaan om die 3de vlak trigonometrie-program te leer.

Sien ook: Besonderhede van Tesla Model 3, 2022 elektriese voertuie met verkoopprys (April 2022)

Jy moet van die begin af reg en genoeg leer om te verhoed dat jy later die wortel verloor.

Dankie dat jy die artikel gelees het. Deel asseblief met jou vriende as jy hierdie artikel nuttig vind!