Nhiều học sinh còn loay hoay khi phải xác định cực đại, cực tiểu, điều kiện để hàm số đạt cực đại, cực tiểu cũng như cách tìm. Hãy cùng tìm hiểu và khám phá trong bài viết ngay dưới đây.

Bạn đang xem: Giá trị lớn nhất của hàm số

Định nghĩa cực đại, cực tiểu của hàm số

Hàm số f(x) được xác định trên DR

Điểm xo ∈ D được gọi là điểm cực đại của hàm số f(x) nếu tồn tại khoảng (a;b) ⊂ D sao cho xo ∈ (a;b) và f(xo) > f (x) , ∀ x ∈ (a,b)∖{xo} Điểm x1 ∈ D được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f(x) nếu tồn tại khoảng (a;b) ⊂ D sao cho x1 ∈ (a; b) và f(x1)

Các giá trị cực đại và cực tiểu được gọi chung là các cực trị.

Nếu xo là một điểm cực trị của hàm số f(x) thì hàm số f(x) đạt cực đại tại điểm xo.

Điều kiện để hàm số đạt cực đại, cực tiểu

Để xác định cực đại và cực tiểu, cần biết các định lý sau:

Tuyên bố 1: (Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị)

Nếu hàm số f(x) có cực đại tại điểm xo và nếu hàm số có đạo hàm tại xo thì f'(xo) = 0

Nhưng

Một hàm có thể đạt cực đại tại một điểm mà hàm đó không có đạo hàm, chẳng hạn đối với hàm y = |x|, có cực đại tại xo = 0 nhưng không có đạo hàm tại đó. Đạo hàm f'( xo) = 0 nhưng hàm số f(x) có thể không có cực đại tại điểm xo Hàm số chỉ có thể đạt cực đại tại điểm mà đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm .Tuyên bố 2: (Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị)

Hàm số f(x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm xo và có đạo hàm trên các khoảng (a;xo) và (xo;b) thì ta có:

Nếu f′(xo) 0, ∀x ∈ (xo;b) thì hàm số đạt cực tiểu tại xo. Nói cách khác, nếu đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua điểm xo, thì hàm số đạt cực tiểu tại xo.

Ta nói, đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là M(xo,yCT).

Nếu f′(xo) > 0, ∀x ∈ (a,xo) và f′(xo)

Ta nói, đồ thị hàm số có điểm cực đại M(xo;yCD).

Chú ý: Không cần xét hàm f(x) có đạo hàm tại xo hay không

Ví dụ: Không thay đổi :

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.

Hàm số f(x) có đạo hàm cấp một trên khoảng (a;b) chứa điểm xo, f'(xo) = 0 và f(x) có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm xo.

Nếu f′(xo) = 0 và f′′(xo) > 0 thì f(x) đạt cực tiểu tại xo. Nếu f′(xo) = 0 và f′′(xo)

Phương pháp tìm cực đại và cực tiểu

Từ đó có các bước xác định cực trị như sau:

Bước 1: Tính đạo hàm f′(x), tìm các điểm mà f′(x) = 0 hoặc f′(x) chưa biết.

Bước 2:

Cách 1: Xét dấu f'(x) dựa vào mệnh đề 2 để suy ra điểm cực đại, điểm cực tiểu. Nếu f'(x) đổi dấu khi x là xo thì hàm số có giới hạn tại xo Cách 2: Xét dấu f′′(xo) trong đó xo là nghiệm của f'(x) dựa vào mệnh đề 3 để chốt . Nếu f”(xo) Nếu f”(xo) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm xo.

Lưu ý: Hàm phân số bậc nhất trên bậc nhất

Dấu của đạo hàm không phụ thuộc vào x, hoặc không phụ thuộc vào x nên hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên những khoảng xác định của nó. Do đó hàm số luôn không có cực trị.

Xem thêm: Thực hành đo bước sóng ánh sáng bằng giao thoa kế Vật Lý 12 Bài 29:

Ứng dụng toán học

Ví dụ cụ thể và giải pháp:

Dạng bài tập liên quan đến tìm cực trị, cụ thể là cực đại, cực tiểu của hàm số rất thường gặp trong các kỳ thi môn Toán. Hi vọng bài viết đã cung cấp cho các bạn những kiến ​​thức hữu ích nhất, từ đó hình dung các bước tìm cực đại, cực tiểu của hàm số một cách thông dụng và dễ nhớ nhất.