Với tài liệu Cách giải các dạng toán về giới hạn của hàm số Đại số và Giải tích lớp 11 bao gồm các phương pháp giải chi tiết, bài tập minh họa có lời giải và bài tập tự luyện, các em học sinh sẽ nắm rõ cách thức làm bài. Dạng toán về giới hạn hàm số lớp 11. Hãy kiểm tra:

Giới hạn hàm số và cách giải bài tập – Toán lớp 11

1. Lý thuyết

a) Giới hạn của hàm số tại một điểm:

* Giới hạn hạn chế: Cho một khoảng K chứa điểm x0. Ta nói rằng hàm f(x) xác định trên K (có thể trừ đi điểm x0) có giới hạn là L khi x tiến dần đến x0 nếu, đối với bất kỳ dãy (xn), xn∈K\x0 và xn→x0 , ta có: f(xn)→L

Kí hiệu: limx→x0f(x)=L hoặc f(x)→Lkhi x→x0.

Bạn đang xem: Tính giới hạn của hàm số

Nhận xét: Nếu f(x) là một hàm sơ cấp xác định tại x0 thì limx→x0fx=fx0.

* Giới hạn ở vô cực:

Hàm số y = f(x) có giới hạn dần đến dương vô cực khi x tiến dần đến x0 vì với mọi dãy số (xn):xn→x0 thì f(xn)→+∞.

Dấu hiệu:.

Hàm y = f(x) có giới hạn âm vô cùng khi x tiến dần tới x0 vì với mọi số (xn):xn→x0 thì f(xn)→−∞.

Ký hiệu: limx→x0f(x)=−∞.

b) Giới hạn của hàm số tại vô cực:

* Giới hạn đầu ra cuối cùng:

– Ta nói hàm số y = f(x) xác định trên (a;+∞) có giới hạn L khi x→+∞ nếu với mọi dãy (xn):xn>a và xn→+∞ thì f( xn) ) ) → L.

Ký hiệu: limx→+∞f(x)=L.

– Ta nói hàm số y = f(x) xác định trên (−∞;b) có giới hạn L khi x→−∞nếu với mọi dãy số (xn):xnb và xn→−∞ thì f(xn) → L .

Ký hiệu: limx→−∞f(x)=L.

* Giới hạn ở vô cực:

– Ta nói hàm số y = f(x) xác định trên (a;+∞) có giới hạn dần đến dương vô cực (hoặc âm vô cùng) khi x→+∞nếu với mọi dãy (xn):xn > a và xn → +∞ thì f(xn)→+∞ (hoặc f(xn)→−∞).

Ký hiệu: limx→+∞f(x)=+∞ (hoặc limx→+∞f(x)=-∞).

– Ta nói hàm số y = f(x) xác định trên (−∞;b) có giới hạn dần đến vô cực dương (hoặc âm vô cực) khi x→−∞if với mọi dãy (xn):xnb và xn → −∞thì f(xn)→+∞. (hoặc f(xn)→−∞).

Ký hiệu: limx→-∞f(x)=+∞ (hoặc limx→-∞f(x)=−∞).

c) Hạn chế đặc biệt:

d) Một số phát biểu về giới hạn hữu hạn:

Chú ý:

– Các định lý về giới hạn hữu hạn của hàm số vẫn áp dụng được khi thay x→x0 bởi x→+∞ hoặc x→-∞.

– Ta chỉ áp dụng định lý trên cho hàm số có giới hạn là hữu hạn. Chúng tôi không áp dụng cho các giới hạn dần dần đến vô cùng.

* Nguyên tắc nhấn mạnh:

Cho ba hàm số f(x), g(x), h(x) xác định trên K chứa điểm x0 (có lẽ các hàm số đó không xác định tại x0). Nếu g(x)≤f(x)≤h(x) ∀x∈Klimx→x0g(x)=limx→x0h(x)=L thì .

e) Quy tắc giới hạn vô cực

Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x)g(x)

Quy tắc tìm giới hạn của thươngf(x)g(x)

f) Hạn chế đơn phương:

* Giới hạn hạn chế:

– Định nghĩa 1: Giả sử hàm số f xác định trên khoảng x0;b,x0∈ℝ. Ta nói hàm số f có giới hạn thực là số thực L khi nó tiến dần đến x0 (hoặc tại điểm x0) nếu với mọi dãy số (xn) tồn tại các số thuộc khoảng (x0; b) mà lim xn = x0 ta đều có lim f(xn) = L.

Khi đó ta viết: limx→x0+fx=L hoặc fx→Lkhi x→x0+.

– Định nghĩa 2: Giả sử hàm số f xác định trên khoảng a;x0,x0∈ℝ. Ta nói hàm số có giới hạn bên trái là một số thực L khi x tiến dần đến x0 (hoặc tại điểm x0) như với bất kỳ dãy (xn) số nào trong khoảng (a; x0) mà lim xn = x0 ta đều bằng nhau có lim f(xn) = L.

Khi đó ta viết: limx→x0−fx=L hoặc fx→Lkhi x→x0−.

– Bình luận:

limx→x0fx=L⇔limx→x0−fx=limx→x0+fx=L

Các định lý về giới hạn của hàm số vẫn được áp dụng khi chúng ta thay thế x→x0 bằng x→x0− hoặc x→x0+.

* Giới hạn vô hạn:

– Các định nghĩa limx→x0−fx=+∞, limx→x0−fx=−∞, limx→x0+fx=+∞ và limx→x0+fx=−∞ được phát biểu tương tự như định nghĩa 1 và định nghĩa 2.

– Nhận xét: Các định lý về giới hạn của hàm số vẫn đúng nếu thay L bằng +∞ hoặc -∞

2. Các dạng bài tập

Dạng 1: Hạn chế ở một điểm

Phương pháp giải:

– Nếu f(x) là hàm sơ cấp xác định tại x0 thì limx→x0fx=fx0

– Áp dụng quy tắc giới hạn cho vô cực:

Hình minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

Câu trả lời

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

Câu trả lời

Dạng 2: Giới hạn đến vô cùng

Phương pháp giải:

– Vẽ lũy thừa với số mũ lớn nhất

– Áp dụng quy tắc giới hạn đến vô cực

Hình minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

a)limx→+∞(7×5+5×2−x+7)

b)limx→−∞4×5−3×3+x+1

Câu trả lời

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

a)limx→+∞x6+5x−1

b)limx→−∞2×2+1+x

Câu trả lời

Dạng 3: Sử dụng nguyên tắc nhấn mạnh

Nguyên tắc nhấn mạnh:

Cho ba hàm số f(x), g(x), h(x) xác định trên K chứa điểm x0 (có lẽ các hàm số đó không xác định tại x0). Nếu g(x)≤f(x)≤h(x) ∀x∈Klimx→x0g(x)=limx→x0h(x)=L thì limx→x0f(x)=L.

Phương pháp giải:

Xét giao điểm của hàm số f(x) bởi hai hàm số g(x) và h(x) sao cho limx→x0g(x)=limx→x0h(x)=L

Lưu ý giới hạn của hàm lượng giác:

−1≤sinx≤1−1≤cosx≤1

Hình minh họa:

Ví dụ 1: Tính giới hạn của hàm số:

a)limx→0x2cos2nx

b)limx→−∞cos5x2x

Câu trả lời

Ví dụ 2: Tính giới hạn của hàm số:limx→+∞2sinx+cos3xx+1−x

Câu trả lời

Mẫu 4: Không giới hạn mẫu 00

Xác định dạng không xác định 00: Tính limx→x0f(x)g(x) trong đó f(x0) = g(x0) = 0.

Phương pháp giải:

Để loại bỏ dạng bất định này, ta phân tích f(x) và g(x) sao cho nhân tử chung là (x – x0).

Tuyên bố: Nếu đa thức f(x) có nghiệm x = x0 thì ta có: f(x) = (x – x0)f1(x).

* Nếu f(x) và g(x) là các đa thức thì ta phân tích f(x) = (x – x0)f1(x) và g(x) = (x – x0)g1(x).

Khi đó limx→x0f(x)g(x)=limx→x0f1(x)g1(x), nếu giới hạn này có dạng 00 ta tiếp tục quá trình như trên.

Chú ý: Nếu lượng giác bậc hai ax2 + bx + c có hai nghiệm x1; x2 thì ta luôn có phân tích: ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2)

* Nếu f(x) và g(x) là các hàm chứa nghiệm thì ta nhân liên hợp để quy về đa thức, rồi phân tích đa thức như trên.

Đại lượng liên hợp:

* Nếu f(x) và g(x) là các hàm chứa nghiệm không đồng biến ta dùng phương pháp tách, ví dụ:

Nếu u(x)n,v(x)m→c, ta phân tích:

u(x)n−v(x)m=(u(x)n−c)−(v(x)m−c)

Hình minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

a)limx→1×3−3×2+2×2−4x+3

b)limx→22×2−5x+2×3−8

Câu trả lời

a)limx→1×3−3×2+2×2−4x+3

=limx→1(x−1)(x2−2x−2)(x−1)(x−3)=limx→1×2−2x−2x−3=32

b)limx→22×2−5x+2×3−8

=limx→2(2x−1)(x−2)(x−2)(x2+2x+4)=limx→22x−1×2+2x+4=14

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

Câu trả lời

Dạng 5: Giới hạn của dạng vô định∞∞

Nhận biết dạng bất định∞∞

limx→x0uxvxkhi limx→x0ux=±∞,limx→x0vx=±∞

limx→±∞uxvx khilimx→x0ux=±∞,limx→x0vx=±∞

Phương pháp giải:

– Chia tử số và mẫu số cho xn trong đó n là số mũ cao nhất của biến ở mẫu số (Hoặc lấy tích chứa xn rồi rút gọn).

– Nếu u(x) hoặc v(x) chứa biến x ở dấu căn, hãy lấy xk nằm ngoài dấu căn (trong đó k là số mũ cao nhất của biến x trong dấu căn), sau đó chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của x.

Hình minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

Câu trả lời

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

Câu trả lời

Dạng 6: Giới hạn của dạng vô định ∞−∞ bật0.∞

Phương pháp giải:

– Nếu biểu thức chứa biến dưới dấu căn thì nhân, chia cho biểu thức liên hợp

– Nếu biểu thức chứa nhiều hơn một phân số, hãy rút gọn mẫu số và trả về biểu thức tương tự

Hình minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

Câu trả lời

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

a)limx→01x−1×2

b)limx→01x1x+1−1

Câu trả lời

Dạng 7: Tính giới hạn đơn phương

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc giới hạn đến vô cực

Hình minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

Câu trả lời

Ví dụ 2: Cho hàm số fx=x2+11−x khi x12x−2 khi x≥1. Tính toán:

a)limx→1+fx

b) limx→1−fx

Câu trả lời

a)limx→1+fx=limx→1+2x−2=2.1−2=0

b) limx→1−fx=limx→1−x2+11−x=+∞ vì limx→1−x2+1=2>0limx→1−1−x=0x→1−⇒x1⇒1−x> 0

Dạng 8: Tìm tham số m để hàm số có giới hạn tại một điểm cho trước

Phương pháp giải:

Sử dụng nhận xét: limx→x0fx=L⇔limx→x0−fx=limx→x0+fx=L

– Tính giới hạn limx→x0−fx; limx→x0+fx

– Để hàm số có giới hạn tại x = x0 cho trước thì limx→x0−fx= limx→x0+fx. Tìm m.

Khi đó đối với m vừa tìm được, hàm số có giới hạn tại x = x0 cho trước và giới hạn đó bằng L=limx→x0−fx= limx→x0+fx

Hình minh họa:

Ví dụ 1: Cho hàm số fx=x2−3x+2x−2 x>2a x≤2. Với giá trị nào của a thì hàm số đã cho có giới hạn tại x = 2?

Câu trả lời

Chúng ta có

limx→2+fx=limx→2+x2−3x+2x−2=limx→2+x−1x−2x−2=limx→2+x−1=1

limx→2−fx=a.

Để hàm số có giới hạn tại x = 2 thì limx→2+fx= limx→2−fx.

a=1

Vậy a = 1 .

Ví dụ 2: Tìm các giá trị thực của tham số fx=m−3khi x12m−13khi x=11−7×2+2khi x>1 để hàm số limx→1fx tồn tại.

Câu trả lời

Ta có limx→1−fx=limx→1−m−3=m−3limx→1+fx=limx→1+1−7×2+2=−2

Để hàm số có giới hạn tại x = 1 thì limx→1−fx=limx→1+fx.

⇒m−3=−2⇔m=1

Vậy m=1.

3. Bài tập tự luyện

Câu hỏi 1. Tính limx→1−−3x−1x−1 bằng cách sử dụng:

MỘT. – Đầu tiên

b. -∞

C.+∞

Đ. -3

Câu 2. Tính limx→+∞2×2−13−x2 theo:

MỘT. -2

B.13

C.23

Đ. 2

Câu 3. Tính limx→2×3−8×2−4 theo:

MỘT. 3

b. Đầu tiên

C. 4

Đ. 2

Câu 4. Tính limx→−4×2+3x−4×2+4x theo:

MỘT. – Đầu tiên

b. 54

C. Đầu tiên

D.-54

Câu 5. Tính limx→1×3−1x−1 bằng cách:

MỘT. 13

b. Đầu tiên

C. thứ mười hai

Đ. 2

Câu 6. Phép tính limx→0x3+1−1×2+x bằng:

MỘT. 4

b. 3

C. 0

Đ. Đầu tiên

Câu 7. Tính limx→−∞4×2−x+1x+1 theo:

MỘT. -2

b. Đầu tiên

C. 2

Đ. – Đầu tiên

Câu 8. Tính limx→+∞x+5−x−7 theo:

A.-∞

B.+∞

C. 0

Đ. 4

Câu 9. Phép tính của limx→−∞−2×5+x4−33×2−7 là:

MỘT. 0

b. +∞

C. -2

D.-∞

Câu 10. Tính limx→+∞x2−4x−x

MỘT. -2

b. -∞

C. 0

D.+∞

Câu 11. Cho limx→−∞x2+ax+5+x=5. Giá trị của a là gì:

MỘT. 6

b. mười

C. -mười

Đ. -6

Câu 12. Kết quả đúng của limx→1×3−1×4−1 bằng:

MỘT. 34

b. 4

C. 43

Đ. 3

Câu 13. Khẳng định nào sau đây là đúng?

MỘT. limx→−∞x4−x1−2x=0

b. limx→−∞x4−x1−2x=+∞

C. limx→−∞x4−x1−2x=1

Đ. limx→−∞x4−x1−2x=−∞

Câu 14. Cho fx=4−x2 −2≤x≤2×2−4x−2 x>2. Tính limx→−2+fx.

MỘT. 0

b. 4

C.+∞

Đ.

Xem thêm: 18 sự thật thú vị về sinh nhật về ngày 2 tháng 1 năm 2002 Bạn nên biết Thứ tư, ngày 02 tháng 1 năm 2002

Không tồn tại

Câu 15. Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số fx=x+m khi x0x2+1 khi x≥0 có giới hạn tại x=0.