I. Lý thuyết về đường thẳng trong không gian
1. Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng
2. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng trong không gian
3. Vị trí tương đối của đường thẳng với mặt bằng
4. Góc giữa 2 đường thẳng
5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
6. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường
* Phép tính 1:
– Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua M1 và vuông góc với Δ.
Bạn đang xem: Viết phương trình đường thẳng lớp 12
– Tìm tọa độ giao điểm H của Δ và mặt phẳng (Q).
– d(M1,Δ) = M1H
* Phép tính 2:
7. Khoảng cách giữa 2 đường chéo
* Phép tính 1:
– Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa (Δ) và song song với (Δ1).
– Tính khoảng cách từ M0M1 đến mặt phẳng (Q).
– d(Δ,Δ1) = d(M1,Q)
* Phép tính 2:
II. Các dạng bài tập về đường thẳng trong không gian
Dạng 1: Viết PT của đường thẳng (d) đi qua một điểm và có VTCP
Phương pháp:
Câu trả lời:
Dạng 2: Viết PT của đường thẳng đi qua 2 điểm A, B
Phương pháp
Ví dụ: Viết đồ thị (d) đi qua các điểm A(1; 2; 0), B(-1; 1; 3);
Câu trả lời:
Dạng 3: Viết PT đường thẳng đi qua A và song song với đường thẳng
Phương pháp
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua A(2;1;-3) và song song với đường thẳng Δ:
Câu trả lời:
Dạng 4: Viết PT đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với mp(∝).
Phương pháp
Ví dụ: Viết PT đường thẳng (d) đi qua A(1;1;-2) và vuông góc với mp(P): xyz-1=0
Câu trả lời:
Dạng 5: Viết PT đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với 2 đường thẳng (d1), (d2).
Phương pháp:
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số của đường thẳng d khi d đi qua điểm M(1;-3;2) vuông góc với d1:
Dạng 6: Viết PT đường thẳng (d) là giao điểm của 2 mp
– mp(P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A”x + B”y + C”z + D” = 0;
Phương pháp:
+ Giải pháp 1:
+ Giải pháp 2:
– Bước 1: Tìm tọa độ 2 điểm A, B d. (Tìm 2 nghiệm của hệ 2 PT trên)
– Bước 2: Viết PT của đường thẳng đi qua 2 điểm AB.
+ Giải pháp 3:
– Đặt 1 trong 3 ẩn số bằng t (ví dụ x = t), giải hệ 2 PT với 2 ẩn số còn lại theo t rồi suy ra PT tham số từ d.
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): 2x+yz-3=0 và (Q): x+y+z-1=0.
Câu trả lời:
Dạng 7: Viết PT hình chiếu của đường thẳng (d) trên mp(P).
Phương pháp
– Bước 1: Viết PT mp(Q) chứa d và vuông góc với mp(P).
– Bước 2: Lập phép chiếu để tìm d’= (P)∩(Q).
– Chú ý: Nếu d⊥(P) thì hình chiếu của d là điểm H=d∩(P).
Câu trả lời:
-Mặt phẳng Q đi qua d có phương trình dạng: m(x-2z) + n(3x-2y+z-3)=0
(m+3n)x – 2ny + (-2m+n)z – 3n = 0
Q⊥ P⇔ 1.(m+3n) – 2(-2n) + 1.(-2m+n) = 0
⇔ m + 3n + 4n – 2m + n = 0⇔ -m + 8n = 0
Chọn m = 8 thì n = 1 ta được phương trình mp(Q): 11x – 2y – 15z – 3 = 0
– Vì hình chiếu d’ của d lên P nên d” là giao điểm của P và Q nên phương trình của d’ sẽ là:
Dạng 8: Viết PT đường thẳng d đi qua điểm A và cắt hai đường thẳng d1, d2
Phương pháp
+ Giải pháp 1:
– Bước 1: Viết PT của mặt phẳng (α) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1.
– Bước 2: Tìm giao điểm B = (α)∩ (d2)
– Bước 3: Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm A, B.
+ Giải pháp 2:
– Bước 1: Viết PT của mặt phẳng (α) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1
– Bước 2: Viết PT của mặt phẳng (β) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d2.
– Bước 3: Kẻ vạch tìm d’= (α)∩ (β).
+ Giải pháp 3:
– Bước 1: Tìm tọa độ giao điểm B của d với d1, C của d với d2
– Bước 2: Từ điều kiện 3 điểm thẳng hàng tính tọa độ B, C
– Bước 3: Viết PT (d) đi qua 2 điểm
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, viết PT của đường thẳng d biết d đi qua điểm A(1;1;0) và cắt hai đường thẳng d1:
Câu trả lời:
– Gọi B, C là các điểm và d lần lượt cắt d1, d2 ta có tọa độ B(1+t;-t;0) và C(0;0;2+s)
Dạng 9: Viết PT đường thẳng d song song với d1 và cắt cả hai đường thẳng d2 và d3.
Phương pháp
– Bước 1: Viết PT mp(P) song song với d1 và chứa d2.
– Bước 2: Viết PT mp(Q) song song với d1 và chứa d3.
– Bước 3: Kẻ vạch tìm d = (P)∩ (Q).
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) song song với trục Ox và cắt (d1),(d2) có PT:
Câu trả lời:
Dạng 10: Viết PT đường thẳng d đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d2
Phương pháp
+ Giải pháp 1:
– Bước 1: Viết PT của mặt phẳng (α) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d1.
– Bước 2: Tìm giao điểm B = (α)∩ (d2)
– Bước 3: Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm A và B.
+ Giải pháp 2:
– Bước 1: Viết PT mp(α) đi qua điểm A và vuông góc với d1.
– Bước 2: Viết PT mp(β) đi qua điểm A và chứa d2.
– Bước 3: Kẻ vạch tìm d = (α)∩ (β).
Câu trả lời:
– PT mp(P)⊥ d2 phải nhận VTCP d2 làm VTPT nên PT:2x – 5y + z + D = 0
– PT mp(P) đi qua M(1;1;1) nên có: 2.1 – 5.1 + 1 + D = 0⇒ D = 2
⇒ PT mp(P):2x – 5y + z + 2 = 0
– Tọa độ giao điểm A của d1 và mp(P) là: (-5;-1;3)
Dạng 11: Vẽ đường thẳng d đi qua điểm A song song với mp(α) và cắt đường thẳng d’
Phương pháp:
+ Giải pháp 1:
– Bước 1: Viết PT mp(P) đi qua điểm A và song song với mp(α).
– Bước 2: Viết PT mp(Q) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d’.
– Bước 3: Kẻ vạch tìm d = (P)∩ (Q).
+ Giải pháp 2:
– Bước 1: Viết PT kẻ từ mặt phẳng (P) đi qua điểm A và song song với mặt phẳng (α)
– Bước 2: Tìm giao điểm B = (P)∩ d’
– Bước 3: Đường thẳng cần tìm d đi qua hai điểm A, B.
Câu trả lời:
Dạng 12: Viết PT đường thẳng d nằm trong mp(P) và cắt hai đường thẳng d1, d2 cho trước.
Phương pháp:
– Bước 1: Tìm giao điểm A = d1∩(P); B = d2∩(P)
– Bước 2: d là đường thẳng đi qua hai điểm A, B.
Ví dụ: Cho 2 đoạn thẳng:
và mặt phẳng (P): x – y – 2z + 3 = 0; Viết phương trình đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng (P) và cắt 2 đường thẳng d1 , d2;
Câu trả lời:
– Cho A = d1∩(P); B = d2∩(P) thì tọa độ của A và B lần lượt là: A(-1+2t;1-t;1+t) và B(1+s;2+s;-1+2s)
– Ta có: A∈(P) do đó: (-1+2t)-(1-t)-2(1+t)+3=0⇔ t = 1⇒ A(1;0;2)
– Tương tự: B∈(P) phải: (1+s)-(2+s)-2(-1+2s)+3=0⇔ s = 1⇒ B(2;3;1)
Dạng 13: Viết PT đường thẳng d nằm trong mp(P) và vuông góc với đường thẳng d’ cho trước tại giao điểm I của d’ và mp(P).
Phương pháp
Dạng 14: Viết PT đường thẳng d vuông góc với hai đường chéo d1, d2.
Phương pháp
+ Giải pháp 1:
– Bước 4: Kẻ vạch tìm d = (P)∩ (Q). (Bây giờ ta chỉ cần tìm thêm 1 điểm M thuộc d).
+ Giải pháp 2:
– Bước 1: Gọi M(x0+at; y0+bt; z0+ct)∈ d1; N(x0″+a’t’; y0’+b’t’; z0’+c’t’)∈ d2 là chân các đường vuông góc chung của d1 và d2.
– Bước 2: Tôi đã làm
– Bước 3: Thay t và t’ vừa tìm được vào tọa độ M, N để tìm M, N. Đường thẳng cần tìm d là đường thẳng đi qua 2 điểm M,N.
– Lưu ý: Cách 2 cho ta tìm ngay độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường chéo.
Câu trả lời:
Dạng 15: Viết PT đường thẳng d vuông góc với mp(P) và cắt hai đường thẳng d1 và d2.
Phương pháp:
– Bước 1: Viết PT mp(P) chứa d1 và vuông góc với (P).
– Bước 2: Viết PT mp(Q) chứa d2 và vuông góc với (P).
– Bước 3: Kẻ vạch tìm d = (P)∩ (Q).
Câu trả lời:
Dạng 16: Vẽ PT đường thẳng d đi qua điểm A, cắt nhau và vuông góc với đường thẳng d.
Xem thêm: Sự cần thiết phải xây dựng nhà nước xã hội chủ nghĩa là gì?
Phương pháp:
– Đây là trường hợp đặc biệt của dạng 10, cách làm tương tự như dạng 10.
