Dấu của tam thức bậc hai là một trong những kiến thức quan trọng của chương trình toán lớp 10. Bài viết dưới đây x-lair.com sẽ giới thiệu đến các em học sinh lý thuyết về dấu của tam thức bậc hai, các dạng bài tập ứng dụng: xét một biểu thức bậc hai cho trước nhận giá trị âm hoặc dương, xét tích hoặc thương của tam thức bậc hai và giải bất phương trình bậc hai.
1. Lý thuyết dấu của tam thức bậc hai
1.1. Khái niệm lượng giác bậc hai
Tam giác bậc hai (đối với biến x) là một biểu thức có dạng: $ax^{2}+bx+c=0$, trong đó a,b,c là các hệ số đã cho và $a\neq 0$.
Bạn đang xem: Xét dấu của một tam thức bậc hai
Ví dụ:
f(x)=$x^{2}-4x+5$ là một tam thức bậc hai
f(x)=$x^{2}(2x-7)$ không phải là tam thức bậc hai.
Nghiệm của phương trình $ax^{2}+bx+c=0$ là nghiệm của tam thức bậc hai; $\Delta =b^{2}-4ac$ và $\Delta” =b”^{2}-ac$ lần lượt là vi phân và phân biệt thức rút gọn của tam giác bậc hai $ax^{2}+bx +c= 0$.
1.2. Dấu của tam thức bậc hai
1.2.1 Định lý dấu của tam thức bậc hai
Tuyên bố thuận lợi:
– Đối với lượng giác bậc hai f(x)=$ax^{2}+bx+c=0$with $a\neq 0$yes$\Delta =b^{2}-4ac$
Nếu $\Delta>0$ thì f(x) luôn cùng dấu với a (với mọi $x\epsilon R$)
Nếu $\Delta=0$ thì f(x) có căn kép là x=$-\frac{b}{2a}$
Khi đó f(x) sẽ cùng dấu với a (mọi x$\neq -\frac{b}{2a}$)
BẰNG
Gợi ý: Khi xét dấu của một tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt, ta có thể áp dụng quy tắc “trong cùng, ngoài cùng bên trái”, đó là: trong khoảng hai nghiệm thì f(x) luôn trái dấu với a, trong để xấp xỉ hai nghiệm thì f(x) cùng dấu với a.
Định lý đảo của tam thức bậc hai:
Cho một tam giác bậc hai: f(x)=$ax^{2}+bx+c=0$ với $a\neq 0$. Nếu tồn tại số $\alpha $ thỏa mãn điều kiện: $\alpha. f(\alpha)
1.2.2. Xét dấu của tam thức bậc hai
Để kiểm tra dấu của một tam thức bậc hai ta làm theo các bước sau:
Bước 1: Tính $\Delta $, tìm nghiệm của tam thức bậc hai (nhấn nút).
Bước 2: Lập bảng xét dấu dựa vào hệ số a.
Bước 3: Xét dấu của tam thức bậc hai rồi rút ra kết luận.
Dấu của tam thức bậc hai được cho trong bảng sau:
1.3. Ứng dụng dấu của tam giác lớp 2
Lưu ý: Trong cả hai trường hợp a>0 và a
$\Delta>0$, f(x) có cả cạnh dương và cạnh âm.
$\Delta \leq 0$, f(x) chỉ có một loại quả mọng, âm hoặc dương.
Xem thêm: Hộp nguyên tố là gì? Làm thế nào để xác định gạch nguyên tố? Cho ví dụ bảng tuần hoàn
Từ đó, chúng ta có các bài toán sau: Với tam thức bậc hai: $ax^{2}+bx+c=0$ với $a\neq 0$:
2. Bài tập về dấu của tam thức bậc hai lớp 10
2.1. Bài tập ứng dụng và lời giải
Bài 1: Xét tam thức bậc hai sau: f(x)=$3x^{2}+2x-5$
Câu trả lời:
f(x)=$3x^{2}+2x-5$
Ta có: $\Delta =b^{2}-4ac=27>0$
Phương trình f(x)=0 có hai nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}$where $x_{1}=\frac{-5}{3}, x_{2}=1$
Ta có bảng điểm:
Kết luận:
f(x)
f(x) >0 khi $x\in (-\infty ;-\frac{5}{3})\cup (1;+\infty )$
Bài 2: Xét biểu thức sau: f(x)=$\frac{x^{2}+2x+1}{x^{2}-1}$
Lời giải: Ta xét: $x^{2}+2x+1=0$ x=-1 (a>0)
$x^{2}-1=0$ x=-1 hoặc x=1 (a>0)
Đánh dấu bảng:
Kết luận: f(x)>0 khi $x\in (-\infty ;-1)\cup (1;+\infty )$
f(x)
Bài 3: Giải các bất phương trình sau:
a, $-3x^{2}+7x-4
b, $\frac{10-x}{5+x^{2}}>\frac{1}{2}$
c, $\frac{1}{1+x}+\frac{2}{x+3}
Hướng dẫn: Để giải bất phương trình hữu tỉ ta phải biến đổi (rút gọn, rút gọn) để được tích hoặc thương của bất phương trình của nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai. Sau đó, chúng tôi lập một bảng các dấu hiệu và kết luận.
Câu trả lời:
a, Đặt f(x)=$-3x^{2}+7x-4$
$-3x^{2}+7x-4=0$ $x=1$ hoặc $x=\frac{4}{3}$
Đánh dấu bảng:
Do đó, tập nghiệm của bất phương trình là S=$(-\infty ;1)\cup (\frac{4}{3};+\infty )$
b,$\frac{10-x}{5+x^{2}}>\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \frac{10-x}{5+x^{2}}-\frac{1}{2}>0$$\Leftrightarrow \frac{-x^{2}-2x+15}{2(x^{2}+5)}>0$
f(x)>0
Lập bảng kiểm tra dấu vế trái của bất đẳng thức, ta được:
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là N=(-5,3)
c,$\frac{1}{1+x}+\frac{2}{x+3}
$\frac{-x+1}{(x+3)(x+2)(x+1)}
f(x)
Lập bảng kiểm tra dấu vế trái của bất đẳng thức, ta được:
Do đó, tập nghiệm của bất phương trình là T=$(-\infty ;-3)\cup (-2;-1)\cup (1;+\infty )$
2.2. Bài tập tự luyện
Bài 1: Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm:
1. $5x^{2}-x+m\leq 0$
2.$(m-1)x^{2}(2m-1)x>m-3$
3.$x^{2}-2mx+m+12
4.$x^{2}+3mx-9
5.$x^{2}+3x-9m\leq 0$
Bài 2: Tìm m để các bất phương trình sau có duy nhất một nghiệm:
1.$-2x^{2}-mx+m^{2}-1\geq 0$
2.$(m-1)x^{2}(2m-1)x>-m-3$
3.$2mx^{2}+x-3\geq 0$
Bài viết trên đã tổng hợp toàn bộ lý thuyết và bài tập về dấu của tam thức bậc hai. Hi vọng các bạn đã có thêm nguồn kiến thức tham khảo hữu ích để tự tin đạt điểm cao trong các bài thi, đặc biệt là kỳ thi THPT quốc gia. Đừng quên truy cập x-lair.com và đăng ký khóa học để biết thêm nhiều kiến thức bổ ích nhé!
