Hướng dẫn cách xét tính đơn điệu của hàm số, xét sự đồng biến và nghịch biến của hàm số thông qua việc ôn tập lý thuyết và các quy tắc vận dụng vào giải các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao.

Kiến thức về hàm số đơn điệu đã được đề cập ở các lớp trước, tuy nhiên ở Toán12 kiến ​​thức này sẽ xuất hiện nhiều dạng toán phức tạp hơn, đòi hỏi học sinh phải có kiến ​​thức về hàm số vững hơn. Kiến thức này cũng thường xuyên xuất hiện trong đề thi THPT quốc gia những năm gần đây nên việc hiểu rõ dạng bài này là rất quan trọng để dễ dàng lấy “điểm” trong kỳ thi. Cùng x-lair.com học giải các dạng bài tập ôn tập dễ dàngtính đơn điệu của hàm số Vui lòng!

1. Lý thuyết về tính đơn điệu của hàm số

1.1. Định nghĩa tính đơn điệu của hàm số

Cho hàm số y= f(x) xác định trên K (với K là một khoảng hoặc một đoạn hoặc nửa khoảng).

Bạn đang xem: Xét sự nghịch biến của hàm số

Hàm y=f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu $\viral X_{1,}X_{2}\in K$,$X_{1}

Hàm y=f(x) nghịch biến (giảm) trên K là $\viral X_{1,}X_{2}\in K$,$X_{1}f(X_{2})\Right arrow f ( X_{2} {1})>f(X_{2})$.

Nói chung, hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi là đơn điệu trên K.

1.2. Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu

a) Điều kiện cần để hàm số đơn điệu:

Giả sử hàm số y=f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K, thì f”(x)=0, $\forall x\in$K, và f”(x)=0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm.

Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f”(x) 0, $\forall x\in$ K và f”(x)=0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm.

b) Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu:

Giả sử hàm số y=f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

Nếu f”(x) > 0, $\forall x\in$ K thì hàm số đồng biến trên khoảng K

Nếu f”(x)

Nếu f”(x)=0, $\forall x\in$K thì hàm số không đổi trên khoảng K

2. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số

2.1. Tìm tập xác định

Để tìm tập xác định của hàm số y=f(x) là tập giá trị của x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa là ta:

Nếu P(x) là một đa thức thì:

$\frac{1}{P(x)}$mean$P(x)\new 0$

$\frac{1}{\sqrt{P(x})}$ nghĩa là $P(x) > 0$

$\sqrt{P(x)}$mean$P(x)\geq 0$

2.2. Tính đạo hàm

Bảng công thức tính đạo hàm của các hàm số cơ bản:

2.3. Tạo bảng biến thiên

Giả sử chúng ta có hàm y = f(x), thì:

f'(x)

f'(x) > 0 tại đó hàm số sẽ đồng biến tại đó.

Theo quy định, chúng sẽ là:

Ta tính f'(x), sau đó giải phương trình f'(x) = 0 để tìm nghiệm.

Lập bảng xét dấu f'(x).

Sau đó, dựa vào bảng nêu luận điểm và kết luận

2.4. Kết luận về khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số

Đây là bước quan trọng, ở bước này bạn sẽ suy luận khoảng nào là khoảng nghịch biến của hàm số. Để hiểu rõ hơn, hãy xem các ví dụ dưới đây!

Ví dụ: Xét hiệp phương sai, nghịch đảo của các hàm:$y=\frac{1}{3}x^{3}-3x^{2}+8x-2$

Giá:

TXĐ: D= R, $y’= x^{2}-6x^{2}+8$, y’= 0

x= 2 hoặc x= 4

Ta có bảng biến thiên:

Kết luận hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty; 2)$ và $(4;+\infty)$, nghịch biến trên khoảng (2,4)

3. Giải các dạng bài tập về tính đơn điệu của hàm số

3.1. Xét tính đơn điệu của hàm số chứa tham số m

* Hàm số đồng biến và nghịch đảo trên BỘ ĐỊNH NGHĨA

Phương pháp:

Đối với hàm đa thức bậc ba: $y=f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$; $(a\neq 0)$.

Tính $f”(x)=3ax^{2}+2bx+c$, sau đó

Hàm đa thức bậc ba y=f(x) đồng biến trên R $\Leftrightarrow \alpha >0$and$\triangle “=b^{2}-3bc\leq 0$

Đa thức bậc ba nghịch đảo y=f(x) trên R $\Leftrightarrow \alpha

Đối với phân số bậc nhất: $y=\frac{ax+b}{cx+d}$

Tính $y”=\frac{ad-bc}{(cx+d)^{2}}$ sau đó:

Hàm đồng biến trên các khoảng xác định khi y’>0 hoặc (ad-bc)>0

Hàm nghịch đảo trên các khoảng xác định khi y’

Ví dụ: Cho hàm: $f(x)=x^{3}-3mx^{2}+3(2m-1)x+1$. Định m để hàm số đồng biến trên tập xác định.

Câu trả lời:

TXĐ : Đ = RẺ

Tính $f”(x)=3x^{2}-6mx+3(2m-1)$

Giả sử $g(x) = 3x^{2}-6mx+3(2m-1)$ có a = 3; b = -6m; c= 3(2m-1);

Để hàm số đồng biến trên TXD khi và chỉ khi:

$\alpha >0 và\triangle “=b^{2}-ac\leq 0$

$\Leftrightarrow\alpha =3>0$ and$\triangle “=9(m-1)^{2}\leq 0$

$\Leftrightarrowm = 1$

Kết luận: Vậy với m = 1 thì hàm số đồng biến trên tập xác định D = R

* Hàm số đồng biến, nghịch biến trên KHOẢNG GIÁC

Phương pháp:

Bước 1: Kiểm tra tập xác định: Do bài toán có tham số nên ta cần tìm trạng thái của tham số để hàm số xác định trên khoảng (a;b).

Bước 2: Tính f”(x) và tìm điều kiện của tham số sao cho $f”(x)\geq0$ hoặc $f”(x)\leq0$ trên khoảng (a;b) theo yêu cầu của bài toán .

Ví dụ: Cho hàm $f(x)=x^{3}-3x^{2}-3(m+1)x-(m+1)$

Tìm m để hàm số đồng biến trên $

Cho hàm covary trên $

$\Rightarrow 3x^{2}-6x-3(m+1)\geq 0$, $\forall x\in $

$\Rightarrow x^{2}-2x-m-1\geq 0$,$\forall x\in$

$\Rightarrowx^{2}-2x-1\geq m$,$\forall x\in$

Đặt $y(x)=\Rightarrow x^{2}-2x-1\Rightarrow y”=2x-2$

Đặt $y’ = 0 \Rightarrowx = 1$. Ta có bảng biến thiên sau:

Từ bảng biến thiên, chúng ta có $y(x) \geqm$, $x $tối thiểu $

= -2\geqm\Rightarrow\leq-2$

$x

3.2. Tính đơn điệu của hàm chứa dấu tuyệt đối

Tìm chuỗi đồng biến và nghịch biến của hàm số y=|f(x)|

f(x) là một số đã cho. Ví dụ: $|x^{2}- 4x|$

f(x) có tham số dạng tích phân. Ví dụ: $|x^{3}-m|$

Bước 1: Khảo sát và lập bảng biến thiên của f(x)

Bước 2: Sử dụng phép nội suy bảng biến thiên của hàm |f(x)|

Giữ nguyên phần trên y = 0

Tìm phép đối xứng qua y = 0 dưới đây

Nhìn vào bảng biến thiên của |f(x)| rút ra hiệp phương sai, nghịch đảo

Ví dụ:

Đặt tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y=|x^{3}-3x^{2}+m -4|$

Giá:

Xét hàm: $f(x)= x3-3x^{2}+m -4$

Ta có $f'(x)= 3x^{2}-6x$, f'(x) = 0 x= 0 hoặc x=2

Bảng biến thiên của hàm f(x)

Vì đồ thị của hàm số y=f(x) có được bằng cách giữ nguyên đồ thị của hàm số y= f(x) trên trục hoành, rồi phần dưới của đồ thị hướng lên trên qua trục Ox quá đối xứng. .

Vậy hàm y=f(x) đồng biến trên $(3;+\infty)\Leftrightarrowf(3)\geq0$

$m – 4\geq0 \Leftrightarrow m\geq4$

3.3. Xét tính đơn điệu của hàm số trên một khoảng

Tìm m để hàm số đồng biến trên .

Để hàm số trên nghịch biến thì f'(x)

$\leq0,\forallx\in$.

$\Rightarrow3x^{2}-6x-3(m+1)\leq 0$,$\forallx\in$

$\Rightarrow-2x-m-1\leq 0$,$\forallx\in$.

$\Rightarrowx^{2}-2x-1\leq m$,$\forallx\in$.

Xem thêm: Một số bài tập về phản ứng oxi hóa khử chọn lọc có đáp án chi tiết

Đặt $y(x) = x^{2}-2x-1 y”(x)=2x-2$

Giả sử $y'(x) = 0 \Mũi tên phải x=1$. Ta có bảng biến thiên sau:

Từ bảng biến thiên ta có: $y(x) \leq m$,$\forallx\in$ tối đa

= $2 \leq m⇒ m \geq2$

$x\in $

Kết luận: Vậy với $m\geq 2$, hàm số sẽ đồng biến trên khoảng